De rij van Fibonacci
De rij van Fibonacci is de lijst getallen waarin elke term de som is van de twee ervoor. Dezelfde regel dwingt de verhouding van opeenvolgende termen naar de gulden snede, en daarom werkt de formule van Binet.
Twee getallen en een som
De rij begint meestal bij F₀ = 0 en F₁ = 1. Voor elke n minstens 2 geldt Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Verder komt er niets bij: geen extra factor en geen test op even of oneven. Uit die twee zaden volgt de hele lijst: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
De eerste termen
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Elke stap kijkt alleen één en twee plaatsen terug. De Lucas-rij gebruikt dezelfde optelling met andere zaden, 2 en 1, en loopt 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … De app kan beide tekenen. De vierkanten van de spiraal hebben de Fibonacci-zijden 1, 1, 2, 3, 5, 8, … zodat elk nieuw vierkant past op de lange zijde van de al getekende rechthoek.
Waarom de verhoudingen naar één getal gaan
Schrijf rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. De eerste quotiënten zijn 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Ze schommelen boven en onder een waarde nabij 1,618, en de schommeling wordt kleiner. Stel dat de quotiënten op een limiet r uitkomen. Dan zijn voor grote n zowel Fₙ / Fₙ₋₁ als Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ ongeveer r. Deel de recurrentie door Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. In de limiet is dat r = 1 + 1/r. Vermenigvuldig met r en je krijgt r² = r + 1, of r² − r − 1 = 0. De kwadratische formule geeft r = (1 ± √5) / 2. De positieve wortel is de gulden snede φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
De vergelijking in de regel
Zoek oplossingen van de vorm Fₙ = λⁿ. De recurrentie wordt λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Deel door λⁿ⁻² en je krijgt λ² = λ + 1, dezelfde vergelijking als eerder. De wortels zijn φ = (1 + √5) / 2 en ψ = (1 − √5) / 2. ψ is ongeveer −0,618, dus |ψ| < 1 en zijn machten krimpen naar 0. Elke rij die de Fibonacci-regel volgt is een mengsel van deze twee machten. De gulden snede is geen later opgeplakt feit. De vergelijking φ² = φ + 1 is de recurrentie geschreven voor een zuivere meetkundige rij.
De formule van Binet
Het mengsel dat bij 0 en 1 start is de formule van Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Omdat |ψ| < 1 wordt de tweede macht al snel piepklein, en Fₙ is bijna φⁿ / √5. Het ontbrekende stuk is voor elke n kleiner dan 1/2, dus afronden van φⁿ / √5 op het dichtstbijzijnde gehele getal geeft het exacte Fibonacci-getal. De app zet de exacte term, de macht van φ en de krimpende fout naast elkaar.
Een lineaire regel, anders dan Collatz
Fibonacci-getallen volgen een lineaire recurrentie: de volgende term is een vaste combinatie van de vorige, en even of oneven speelt geen rol. De Collatz-rij gebruikt een niet-lineaire pariteitsregel, n/2 of 3n+1, en niemand heeft bewezen dat elke start 1 bereikt. De Fibonacci-regel is volledig opgelost. Gesloten vorm, groei en limiet van de gulden snede komen uit één kwadratische vergelijking. Verander de twee zaden, zoals de Lucas-rij doet, en de limiet blijft φ, want de limiet zit in de regel.
De gulden hoek
Een volle draai gedeeld door φ² is ongeveer 137,5078°. Plaats zaden onder die vaste hoek en laat de straal groeien als de wortel van de index, dan pakken de punten zich in spiralen. De spiralen die je kunt tellen zijn opeenvolgende Fibonacci-getallen. Dat is de zonnebloemweergave in de app.
Ontdek het in PictorX
Open de rij van Fibonacci om de vierkanten tot een spiraal te laten groeien, de verhoudingen tegen φ te zetten, de formule van Binet te controleren of zaden onder de gulden hoek te strooien. Schakel over op Lucas-getallen en de verhoudingen naderen nog steeds φ. Sleep om te verschuiven, scroll om te zoomen, sla daarna een PNG op of open het doek in de PictorX-editor. Combineer het met het Collatz-vermoeden of vermenigvuldigingscirkels voor meer beelden uit een korte regel.
Veelgestelde vragen
Wat is de rij van Fibonacci?
De rij met F₀ = 0, F₁ = 1 en Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Ze begint 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Waarom nadert de verhouding de gulden snede?
Als de quotiënten van opeenvolgende termen op een limiet r uitkomen, dwingt de recurrentie r = 1 + 1/r af, dus r² − r − 1 = 0. De positieve oplossing is φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Wat is de formule van Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, met ψ = (1 − √5) / 2. De macht van ψ krimpt, dus Fₙ is het gehele getal dat het dichtst bij φⁿ / √5 ligt.
Doen Lucas-getallen hetzelfde?
Ja. Lucas-getallen starten bij 2 en 1 en gebruiken daarna dezelfde som. Hun opeenvolgende verhoudingen naderen ook φ, omdat de limiet uit de recurrentie komt, niet uit de twee zaden.
Verlaat de tekening mijn apparaat?
Nee. De rij, de spiraal, de grafiek en de zaden worden in uw browser berekend. Sla een PNG op of open het doek in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
De rij van Fibonacci
Elk Fibonacci-getal is de som van de twee ervoor. Zie de vierkanten een spiraal worden, de verhoudingen naar de gulden snede lopen en de formule van Binet dezelfde getallen teruggeven.
Het vermoeden van Collatz
Verken het Collatz-3n+1-probleem in je browser. Volg hagelsteenreeksen, laat een geometrische Collatz-boom groeien en zoom in op de continue Collatz-fractal.
Het vermoeden van Collatz
Het vermoeden van Collatz is een van de beroemdste onopgeloste raadsels van de wiskunde: eenvoudige even/oneven-regels, hagelsteengetallen, Erdős, Terence Tao en twee manieren om de data als geometrie en als fractal te zien.
Vermenigvuldigingscirkels
Verbind elk getal op een cirkel met zijn veelvoud. Teken een tafel, een cardioïde of een draadfiguur op papier, met krijt of op hout.
Ulam-spiraal
Teken de Ulam-spiraal in je browser. Markeer de priemgetallen, lees de kwadratische formule van elke diagonaal en open Eulers ononderbroken reeks van 40 priemgetallen.
De Ulam-spiraal
Hoe de spiraal van Stanisław Ulam uit 1963 de gehele getallen op een vierkant raster legt, waarom priemgetallen zich op kwadratische diagonalen verzamelen en waar Eulers veertig priemgetallen liggen als de spiraal bij 41 begint.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Probeer de rij van Fibonacci