Gratis naald van Buffon | π schatten met vallende naalden

Hoe het werkt

Open deze pagina en druk op afspelen. De naalden vallen willekeurig op de lijnen.
Zie π tot rust komen. Met de naald half zo lang als de tussenruimte is het worpen gedeeld door kruisingen.
Open het sinusdiagram, leg met de hand één naald of laat er duizend tegelijk vallen, en sla daarna een PNG op.

Twee getallen bepalen een kruising

Een worp ligt vast door de afstand x van het midden van de naald tot de dichtstbijzijnde lijn en door de hoek θ tussen de naald en de lijnen. x loopt van 0 tot d/2. θ loopt van 0 tot π, want een naald heeft geen kop en een halve draai dekt elke richting. De naald kruist een lijn als x ≤ (l/2) sin θ.

De formule voor de korte naald

Voor l ≤ d is de kans op een kruising P = 2l/(πd). De paren (θ, x) vullen een rechthoek van π breed en d/2 hoog. De kruisingen vormen het oppervlak onder de sinuskromme, en dat oppervlak is l. Deel je de twee oppervlakken, dan blijft π in de noemer over. Bij l = d/2 is de kans 1/π, dus π is ongeveer worpen gedeeld door kruisingen.

Een trage manier om π te vinden

Omgeschreven luidt de formule π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Het is een Monte-Carloschatting, en geen efficiënte. Na een paar duizend worpen zijn de eerste cijfers meestal herkenbaar. Het volgende cijfer vraagt een veel groter aantal. De ± naast de uitlezing is één standaardfout van de verhouding. Sleep over de vloer om één naald te leggen en de x en θ ervan te zien. Die naald wordt getekend maar niet meegeteld.

Veelgestelde vragen

Wat is de naald van Buffon?

Een naald met lengte l die op evenwijdige lijnen op afstand d valt. Voor een korte naald, l ≤ d, is de kans dat hij een lijn kruist 2l/(πd).

Waarom zit π in het antwoord?

De richting van de naald is een hoek van 0 tot π. Alle mogelijke worpen vullen een rechthoek van die breedte, en de kruisingen vormen het oppervlak onder een sinuskromme. Deel je die oppervlakken, dan blijft π in de noemer over.

Hoe schat het experiment π?

Tel de worpen N en de kruisingen N_hit. Dan is π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Met de naald half zo lang als de tussenruimte is dat worpen gedeeld door kruisingen.

Waarom telt een met de hand gelegde naald niet mee?

De schatting vraagt om een willekeurige positie en een willekeurige hoek. Een naald die je op zijn plek sleept, wordt getekend zodat je x en θ ziet, maar niet opgeteld bij N of N_hit.