二つの数とその和
数列は普通 F₀ = 0 と F₁ = 1 から始まります。2 以上のすべての n について Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ です。それ以外は何もありません。余分な係数も、偶奇の判定もありません。この二つの種から列は完全に決まります：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
最初のいくつかの項
F₂ = 1 + 0 = 1。F₃ = 1 + 1 = 2。F₄ = 2 + 1 = 3。F₅ = 3 + 2 = 5。各ステップは一つ前と二つ前だけを見ます。リュカ数列は同じ足し算を別の種 2 と 1 で使い、2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … になります。アプリはどちらも描けます。螺旋の正方形はフィボナッチの辺 1, 1, 2, 3, 5, 8, … を使い、新しい正方形はすでに描いた長方形の長辺に合います。
比がある一つの数に近づく理由
rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁ と書きます。最初の商は 1/1 = 1、2/1 = 2、3/2 = 1.5、5/3 ≈ 1.6667、8/5 = 1.6、13/8 = 1.625、21/13 ≈ 1.6154 です。約 1.618 の上下で振れ、振れ幅は小さくなります。 商がある極限 r に落ち着くとします。すると大きな n では Fₙ / Fₙ₋₁ も Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ もおよそ r です。漸化式を Fₙ₋₁ で割ると： Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁。 極限では r = 1 + 1/r です。r を掛けると r² = r + 1、すなわち r² − r − 1 = 0。二次公式から r = (1 ± √5) / 2。正の根が黄金比 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 です。
規則に隠れた方程式
Fₙ = λⁿ の形の解を探します。漸化式は λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻² になります。λⁿ⁻² で割ると λ² = λ + 1、前と同じ方程式です。根は φ = (1 + √5) / 2 と ψ = (1 − √5) / 2。ψ は約 −0.618 で |ψ| < 1、その累乗は 0 に縮みます。フィボナッチの規則に従う数列はすべて、この二つの累乗の混合です。黄金比は後から貼り付けた事実ではありません。φ² = φ + 1 は、純粋な等比数列として書いた漸化式そのものです。
ビネの公式
0 と 1 から始まる混合がビネの公式 Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 です。|ψ| < 1 なので第二項の累乗はすぐに小さくなり、Fₙ はほぼ φⁿ / √5 です。足りない分はどの n でも 1/2 未満なので、φⁿ / √5 を最も近い整数に丸めれば正確なフィボナッチ数が得られます。アプリは正確な項、φ の累乗、縮む誤差を並べて示します。
コラッツとは違う線形の規則
フィボナッチ数は線形の漸化式に従います。次の項は前の項の決まった組み合わせで、偶奇は関係ありません。コラッツ数列は非線形の偶奇規則 n/2 または 3n+1 を使い、どの出発点も 1 に達するとはまだ証明されていません。フィボナッチの規則は完全に解けています。閉じた式、増え方、黄金比の極限はすべて一つの二次方程式から来ます。リュカ数列のように二つの種を変えても極限は φ のままです。極限は規則の中にあるからです。
黄金角
一周を φ² で割ると約 137.5078° です。その固定角で種を置き、半径を番号の平方根のように伸ばすと、点が螺旋に詰まります。数えられる螺旋は連続するフィボナッチ数です。これがアプリのひまわり表示です。
PictorX で試す
フィボナッチ数列を開き、正方形を螺旋に育て、比を φ に対して描き、ビネの公式を確かめ、黄金角で種を散らします。リュカ数に切り替えても比は φ に近づきます。ドラッグで移動、スクロールで拡大し、PNG を保存するか PictorX エディターでキャンバスを開きます。コラッツ予想や乗法円と合わせれば、短い規則からさらに絵が生まれます。
よくある質問
フィボナッチ数列とは何ですか？
F₀ = 0、F₁ = 1、Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ で定義される数列です。0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … から始まります。
比が黄金比に近づくのはなぜですか？
連続する項の商が極限 r に落ち着くと、漸化式は r = 1 + 1/r を強制し、r² − r − 1 = 0 になります。正の解は φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 です。
ビネの公式とは何ですか？
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5、ψ = (1 − √5) / 2 です。ψ の累乗は縮むので、Fₙ は φⁿ / √5 に最も近い整数です。
リュカ数も同じことをしますか？
はい。リュカ数は 2 と 1 から始まり、その後は同じ和を使います。連続比も φ に近づきます。極限は二つの種ではなく漸化式から来るからです。
描画は端末の外に出ますか？
いいえ。数列、螺旋、グラフ、種はすべてブラウザ内で計算されます。PNG を保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開いてください。
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