レカマン数列
a₀ = 0。各ステップ n で、aₙ₋₁ − n が正の整数でまだ数列に現れていなければ aₙ = aₙ₋₁ − n、そうでなければ aₙ = aₙ₋₁ + n です。最初の項は 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 です。PictorX は各跳躍を半円で描き、選ばれた理由を示し、数列の先頭部分がまだ届いていない最小の正の整数に印を付けます。 半円は数直線の上と下に交互に現れます。ドラッグで移動、スクロールでズーム、ダブルクリックでフィットします。「サウンド」をオンにすると各跳躍が聞こえます。
使い方
- このページを開き、数直線の上と下で半円が伸びていく様子を見てください。
- 「ステップ」に切り替えると各項が選ばれた理由を、「欠けている数」に切り替えると最小の隙間を確認できます。
- サウンドをオンにしてから、PNG を保存するか PictorX エディターで続けます。
空いていれば後ろへ
数列は 0 から始まります。ステップ n は、結果がまだ現れていない正の整数なら n を引きます。その位置が負か、すでに使われていれば、代わりに n を足します。0 は最初の項なので、0 へ戻る跳躍は拒否されます。最初の 15 項は 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 です。
半円、そして隙間
直径 n の半円が各項を次の項につなぎます。奇数ステップは数直線の上に、偶数ステップは下に弧を描きます。ティールは空いている整数へ戻ったこと、アンバーは前へ跳ぶしかなかったことを表します。最初の 15 項のあとも 4 はまだ欠けており、ステップ 131 で現れます。「欠けている数」は、描いた先頭部分の最小の隙間を示します。
今も未解決の予想
ニール・スローンは、すべての非負整数がいずれ現れると予想しました。この予想は証明されていません。ベンジャミン・チャフィンは 2026 年 2 月、10^612 項を計算しても 852,655 が最小の欠けている数のままだと報告しました。図、ステップ表、メロディーはすべてブラウザー内で動作します。
よくある質問
レカマン数列とは？
a₀ = 0 で、n > 0 のとき aₙ₋₁ − n が正で新しい値なら aₙ = aₙ₋₁ − n、そうでなければ aₙ = aₙ₋₁ + n とする数列です。0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 と始まります。
なぜステップ 7 は 20 になるの？
13 − 7 = 6 ですが、6 はすでに数列にあるため後ろへの跳躍は拒否されます。7 を足して 20 になります。
半円は何を表すの？
各弧はある項を次の項につなぎ、直径は n です。奇数ステップは数直線の上、偶数ステップは下を通ります。ティールの弧は後ろへ、アンバーの弧は前へ跳んだものです。
すべての数が現れるの？
すべての非負整数が現れるというのは、ニール・スローンによる未解決の予想です。10^612 項を計算しても、852,655 が最小の欠けている数のままです。
計算はブラウザーで行われるの？
はい。数列、弧、隙間、メロディーはお使いのデバイス上で計算されます。PNG を保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開いてください。
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試してみますか？
ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
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