無料のビュフォンの針 | 針を落として π を推定

使い方

このページを開いて再生を押します。針が線の上にランダムに落ちます。
π が落ち着いていく様子を見ます。針が間隔の半分なら、π は投下数 ÷ 交差数です。
サイン図を開く、針を1本手で置く、または1,000本を一度に落としてから、PNG を保存します。

2つの数が交差を決める

1回の投下は、針の中心から最も近い線までの距離 x と、針と線のなす角 θ で決まります。x は 0 から d/2 まで、θ は 0 から π までです。針には頭がないので、半回転ですべての向きをカバーできます。x ≤ (l/2) sin θ のとき、針は線と交わります。

短い針の公式

l ≤ d のとき、交差の確率は P = 2l/(πd) です。組 (θ, x) は幅 π、高さ d/2 の長方形を埋めます。交差にあたるのはサイン曲線の下の面積で、その面積は l です。2つの面積を割ると、分母に π が残ります。l = d/2 では確率が 1/π になるので、π はおよそ投下数 ÷ 交差数です。

π を求める遅い方法

式を変形すると π ≈ 2l·N / (d·N_hit) になります。これはモンテカルロ推定で、しかも効率の悪いものです。数千回投げれば、たいてい最初の数桁が見えてきます。次の1桁にはずっと多くの回数が必要です。表示の横の ± は比の標準誤差1つ分です。床の上をドラッグすると針を1本置いて、その x と θ を確認できます。その針は描かれますが、数には含まれません。