La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est la liste des nombres dont chaque terme est la somme des deux précédents. La même règle force le rapport de termes consécutifs vers le nombre d'or, et c'est pour cela que la formule de Binet fonctionne.
Deux nombres et une somme
La suite commence en général à F₀ = 0 et F₁ = 1. Pour tout n au moins égal à 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Rien d'autre n'intervient : pas de facteur supplémentaire, pas de test pair ou impair. À partir de ces deux germes, la liste est entièrement déterminée : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Les premiers termes
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Chaque étape ne regarde qu'une et deux places en arrière. La suite de Lucas utilise la même addition avec d'autres germes, 2 et 1, et donne 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … L'application peut tracer l'une ou l'autre. Les carrés de la spirale ont les côtés de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, de sorte que chaque nouveau carré épouse le long côté du rectangle déjà dessiné.
Pourquoi les rapports convergent vers un nombre
Écrivez rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Les premiers quotients sont 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Ils oscillent au-dessus et au-dessous d'une valeur proche de 1,618, et l'amplitude diminue. Supposons que les quotients se stabilisent sur une limite r. Alors pour n grand, Fₙ / Fₙ₋₁ et Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ valent tous deux environ r. Divisez la récurrence par Fₙ₋₁ : Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. À la limite, cela donne r = 1 + 1/r. En multipliant par r on obtient r² = r + 1, ou r² − r − 1 = 0. La formule quadratique donne r = (1 ± √5) / 2. La racine positive est le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
L'équation cachée dans la règle
Cherchez des solutions de la forme Fₙ = λⁿ. La récurrence devient λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Divisez par λⁿ⁻² et vous obtenez λ² = λ + 1, la même équation qu'avant. Ses racines sont φ = (1 + √5) / 2 et ψ = (1 − √5) / 2. ψ vaut environ −0,618, donc |ψ| < 1 et ses puissances tendent vers 0. Toute suite qui obéit à la règle de Fibonacci est un mélange de ces deux puissances. Le nombre d'or n'est pas un fait ajouté après coup. L'équation φ² = φ + 1 est la récurrence écrite pour une suite géométrique pure.
La formule de Binet
Le mélange qui part de 0 et 1 est la formule de Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Comme |ψ| < 1, la seconde puissance devient vite minuscule, et Fₙ vaut presque φⁿ / √5. Le reste est inférieur à 1/2 pour tout n, donc l'arrondi de φⁿ / √5 à l'entier le plus proche donne le nombre de Fibonacci exact. L'application aligne le terme exact, la puissance de φ et l'erreur qui diminue.
Une règle linéaire, contrairement à Collatz
Les nombres de Fibonacci suivent une récurrence linéaire : le terme suivant est une combinaison fixe des précédents, et pair ou impair n'importe pas. La suite de Collatz utilise une règle de parité non linéaire, n/2 ou 3n+1, et personne n'a prouvé que tout départ atteint 1. La règle de Fibonacci est entièrement résolue. Sa forme fermée, sa croissance et la limite du nombre d'or sortent d'une seule équation quadratique. Changez les deux germes, comme la suite de Lucas, et la limite reste φ, car la limite vit dans la règle.
L'angle d'or
Un tour complet divisé par φ² vaut environ 137,5078°. Placez des graines à cet angle fixe, laissez le rayon croître comme la racine carrée de l'indice, et les points se tassent en spirales. Les spirales que l'on peut compter sont des nombres de Fibonacci consécutifs. C'est la vue tournesol de l'application.
Explorez-le dans PictorX
Ouvrez la suite de Fibonacci pour faire croître les carrés en spirale, tracer les rapports contre φ, vérifier la formule de Binet ou disperser des graines à l'angle d'or. Passez aux nombres de Lucas : les rapports convergent encore vers φ. Faites glisser pour déplacer, faites défiler pour zoomer, puis enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l'éditeur PictorX. Associez-la à la conjecture de Collatz ou aux cercles de multiplication pour d'autres images issues d'une règle courte.
Questions fréquemment posées
Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?
La suite définie par F₀ = 0, F₁ = 1 et Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Elle commence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Pourquoi le rapport approche-t-il le nombre d'or ?
Si les quotients de termes consécutifs se stabilisent sur une limite r, la récurrence impose r = 1 + 1/r, donc r² − r − 1 = 0. La solution positive est φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
Qu'est-ce que la formule de Binet ?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, avec ψ = (1 − √5) / 2. La puissance de ψ diminue, donc Fₙ est l'entier le plus proche de φⁿ / √5.
Les nombres de Lucas font-ils la même chose ?
Oui. Les nombres de Lucas commencent à 2 et 1, puis utilisent la même somme. Leurs rapports consécutifs convergent aussi vers φ, car la limite vient de la récurrence, pas des deux germes.
Le dessin quitte-t-il mon appareil ?
Non. La suite, la spirale, le graphique et les graines sont calculés dans votre navigateur. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l'éditeur PictorX.
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