Aguja de Buffon
Deja caer una aguja de longitud l sobre un suelo con líneas paralelas separadas una distancia d. Si la aguja no es más larga que la separación, la probabilidad de que cruce una línea es 2l/(πd). PictorX hace los lanzamientos por ti, dibuja cada uno y da la vuelta al recuento para que el mismo experimento estime π. Pulsa reproducir para dejar caer agujas al azar. Los cruces sirven para estimar π. Con la aguja a la mitad de la separación, π es aproximadamente lanzamientos entre cruces. Arrastra sobre el suelo para colocar una aguja a mano; esa no se cuenta.
como funciona
- Abre esta página y pulsa reproducir. Las agujas caen al azar sobre las líneas.
- Mira cómo se estabiliza π. Con la aguja a la mitad de la separación, es lanzamientos entre cruces.
- Abre el diagrama del seno, coloca una aguja a mano o deja caer mil de una vez y guarda un PNG.
Dos números deciden un cruce
Un lanzamiento queda fijado por la distancia x del centro de la aguja a la línea más cercana y por el ángulo θ entre la aguja y las líneas. x va de 0 a d/2. θ va de 0 a π, porque una aguja no tiene cabeza y media vuelta cubre todas las direcciones. La aguja cruza cuando x ≤ (l/2) sen θ.
La fórmula de la aguja corta
Para l ≤ d, la probabilidad de un cruce es P = 2l/(πd). Los pares (θ, x) llenan un rectángulo de π de ancho y d/2 de alto. Los cruces son el área bajo la curva del seno, y esa área es l. Al dividir las dos áreas, π queda en el denominador. Con l = d/2 la probabilidad es 1/π, así que π es aproximadamente lanzamientos entre cruces.
Una forma lenta de hallar π
La fórmula reordenada es π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Es una estimación de Montecarlo, y poco eficiente. Unos pocos miles de lanzamientos suelen bastar para reconocer las primeras cifras. La siguiente cifra requiere un recuento mucho mayor. El ± junto a la lectura es un error estándar del cociente. Arrastra sobre el suelo para colocar una sola aguja y ver su x y su θ. Esa aguja se dibuja y queda fuera del recuento.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la aguja de Buffon?
Una aguja de longitud l que cae sobre líneas paralelas separadas una distancia d. Para una aguja corta, l ≤ d, la probabilidad de que cruce una línea es 2l/(πd).
¿Por qué aparece π en la respuesta?
La dirección de la aguja es un ángulo de 0 a π. Todas las caídas posibles llenan un rectángulo de esa anchura, y los cruces son el área bajo una curva del seno. Al dividir esas áreas, π queda en el denominador.
¿Cómo estima π el experimento?
Cuenta los lanzamientos N y los cruces N_hit. Entonces π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Con la aguja a la mitad de la separación, es lanzamientos entre cruces.
¿Por qué no se cuenta una aguja colocada a mano?
La estimación necesita una posición y un ángulo aleatorios. Una aguja que colocas arrastrando se dibuja para que veas x y θ, pero no se suma a N ni a N_hit.
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