La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es la lista de números en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La misma regla obliga al cociente de términos consecutivos hacia la razón áurea, y es la razón de que funcione la fórmula de Binet.
Dos números y una suma
La sucesión suele empezar en F₀ = 0 y F₁ = 1. Para todo n al menos 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. No interviene nada más: ni un factor extra ni una prueba de par o impar. Con esas dos semillas la lista queda completamente determinada: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Los primeros términos
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Cada paso solo mira una y dos posiciones atrás. La sucesión de Lucas usa la misma suma con semillas distintas, 2 y 1, y da 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … La app puede dibujar cualquiera. Los cuadrados de la espiral usan los lados de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, … de modo que cada cuadrado nuevo encaja en el lado largo del rectángulo ya dibujado.
Por qué las razones se acercan a un número
Escribe rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Los primeros cocientes son 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Oscilan por encima y por debajo de un valor cercano a 1,618, y la oscilación se reduce. Supón que los cocientes se asientan en un límite r. Entonces, para n grande, Fₙ / Fₙ₋₁ y Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ valen ambos cerca de r. Divide la recurrencia entre Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. En el límite eso es r = 1 + 1/r. Multiplica por r y queda r² = r + 1, o r² − r − 1 = 0. La fórmula cuadrática da r = (1 ± √5) / 2. La raíz positiva es la razón áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
La ecuación oculta en la regla
Busca soluciones de la forma Fₙ = λⁿ. La recurrencia pasa a λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Divide entre λⁿ⁻² y obtienes λ² = λ + 1, la misma ecuación de antes. Sus raíces son φ = (1 + √5) / 2 y ψ = (1 − √5) / 2. ψ vale unos −0,618, así que |ψ| < 1 y sus potencias se encogen hacia 0. Toda sucesión que obedece la regla de Fibonacci es una mezcla de esas dos potencias. La razón áurea no es un hecho pegado después. La ecuación φ² = φ + 1 es la recurrencia escrita para una sucesión geométrica pura.
La fórmula de Binet
La mezcla que empieza en 0 y 1 es la fórmula de Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Como |ψ| < 1, la segunda potencia pronto se hace minúscula, y Fₙ es casi φⁿ / √5. La pieza que falta es menor que 1/2 para todo n, así que redondear φⁿ / √5 al entero más cercano da el número de Fibonacci exacto. La app enumera el término exacto, la potencia de φ y el error que se encoge, uno al lado del otro.
Una regla lineal, a diferencia de Collatz
Los números de Fibonacci siguen una recurrencia lineal: el siguiente término es una combinación fija de los anteriores, y no importa si son pares o impares. La sucesión de Collatz usa una regla de paridad no lineal, n/2 o 3n+1, y nadie ha demostrado que todo arranque llegue a 1. La regla de Fibonacci está resuelta por completo. Su forma cerrada, su crecimiento y el límite de la razón áurea salen de una sola ecuación cuadrática. Cambia las dos semillas, como hace la sucesión de Lucas, y el límite sigue siendo φ, porque el límite vive en la regla.
El ángulo áureo
Una vuelta completa dividida por φ² es unos 137,5078°. Coloca semillas en ese ángulo fijo y deja que el radio crezca como la raíz cuadrada del índice: los puntos se empaquetan en espirales. Las espirales que puedes contar son números de Fibonacci consecutivos. Esa es la vista de girasol de la app.
Explóralo en PictorX
Abre la sucesión de Fibonacci para hacer crecer los cuadrados en una espiral, trazar las razones frente a φ, comprobar la fórmula de Binet o esparcir semillas en el ángulo áureo. Cambia a números de Lucas y las razones siguen acercándose a φ. Arrastra para mover, desplaza para acercar, luego guarda un PNG o abre el lienzo en el editor PictorX. Combínala con la conjetura de Collatz o los círculos de multiplicación para más dibujos nacidos de una regla corta.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La sucesión definida por F₀ = 0, F₁ = 1 y Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
¿Por qué la razón se acerca a la razón áurea?
Si los cocientes de términos consecutivos se asientan en un límite r, la recurrencia fuerza r = 1 + 1/r, así que r² − r − 1 = 0. La solución positiva es φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
¿Qué es la fórmula de Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, con ψ = (1 − √5) / 2. La potencia de ψ se encoge, así que Fₙ es el entero más cercano a φⁿ / √5.
¿Los números de Lucas hacen lo mismo?
Sí. Los números de Lucas empiezan en 2 y 1 y luego usan la misma suma. Sus razones consecutivas también se acercan a φ, porque el límite nace de la recurrencia, no de las dos semillas.
¿El dibujo sale de mi dispositivo?
No. La sucesión, la espiral, el gráfico y las semillas se calculan en tu navegador. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor PictorX.
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