Kansen met dobbelstenen

Even waarschijnlijke kanten

Een eerlijke dobbelsteen is een kubus die met even grote kans op elk van zijn zes kanten landt, dus elke kant heeft kans 1/6. Op een standaarddobbelsteen tellen tegenover elkaar liggende kanten op tot 7. Dat verandert de kansen niet; het maakt een verkeerd bedrukte dobbelsteen alleen makkelijker te herkennen.

De manieren tellen

Schrijf bij twee dobbelstenen de uitkomsten als geordende paren: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Alle 36 zijn even waarschijnlijk. De kans op een som is het aantal paren dat die som geeft, gedeeld door 36: 1/36 voor 2, 2/36 voor 3, oplopend tot 6/36 voor 7 en weer omlaag tot 1/36 voor 12. Drie dobbelstenen hebben 6³ = 216 uitkomsten, en 10 en 11 kun je elk op 27 manieren maken.

Gerolamo Cardano telde al zo in de 16e eeuw. Later legde Galileo aan Italiaanse gokkers uit waarom 10 met drie dobbelstenen vaker valt dan 9, hoewel je beide op zes manieren als som van drie ogen kunt schrijven: 10 heeft 27 geordende uitkomsten en 9 maar 25.

Verwacht en waargenomen

Het verwachte aantal van een uitkomst na N worpen is N maal de kans erop. Na 1.000 worpen met twee dobbelstenen valt 7 naar verwachting 1.000 × 6/36 ≈ 167 keer en 2 ongeveer 28 keer. De waargenomen aantallen schommelen rond die getallen. Voor een uitkomst met kans p en verwacht aantal E = Np is de typische spreiding √(E(1 − p)), dus 167 ± 12 en 28 ± 5 zijn heel gewone uitkomsten. In de app zijn de gestreepte omtrekken de verwachte aantallen en de gevulde staven de waargenomen aantallen.

De wet van de grote aantallen en de klokkromme

Hoe vaker je gooit, hoe dichter elk aandeel bij zijn kans komt: de wet van de grote aantallen. De absolute afwijkingen groeien, maar langzamer dan het aantal worpen, dus in procenten sluiten de staven steeds beter aan op de omtrekken. Neem meer dobbelstenen en de verdeling van de som wordt een klokkromme. Met vijf dobbelstenen volgen de 26 mogelijke sommen al nauw een normale kromme: de centrale limietstelling aan het werk.

Een dobbelsteen testen: de chi-kwadraattoets

De chi-kwadraattoets van Karl Pearson uit 1900 meet hoe ver de waargenomen aantallen O van de verwachte aantallen E af liggen:

χ² = Σ (O − E)² / E

Bij eerlijke dobbelstenen volgt deze som bij benadering een chi-kwadraatverdeling met een aantal vrijheidsgraden dat één kleiner is dan het aantal staven: 5 bij één dobbelsteen, 10 bij de sommen van twee dobbelstenen. De p-waarde is de kans op een minstens zo grote χ² als de dobbelstenen eerlijk zijn. Een grote p betekent dat de aantallen kloppen; een p onder 0,05 is een waarschuwing, hoewel één op de twintig reeksen met eerlijke dobbelstenen daar ook uitkomt. De toets heeft verwachte aantallen nodig die niet te klein zijn, en daarom wacht de app op genoeg worpen.

Ontdek het in PictorX

Open Dobbelstenen gooien en er rolt al een dobbelsteen, 100 keer per seconde, tot 1.000 worpen. Kies tot vijf dobbelstenen, het aantal worpen en de snelheid. Aantal worpen toont aantallen; Percentage van de worpen toont aandelen, zodat je reeksen van verschillende lengte makkelijk vergelijkt. De verzwaarde dobbelsteen toont zijn zes twee keer zo vaak als elk ander aantal ogen: zie zijn staaf boven de gestreepte omtrek uitgroeien en de chi-kwadraattoets hem betrappen. Slow motion laat elke worp rollen; klik op de dobbelstenen of druk op Enter om zelf één keer te gooien. Sla een PNG van de grafiek op, of vergelijk met het Galtonbord, waar veel kleine toevallige stappen ook optellen tot een klokkromme.