Вероятности при бросании кубиков

Равновероятные грани

Честный кубик — это куб, который с одинаковой вероятностью ложится на любую из шести граней, поэтому вероятность каждой грани — 1/6. На стандартном кубике сумма очков на противоположных гранях равна 7. Шансов это не меняет, зато так проще заметить кубик с ошибкой в разметке.

Подсчёт вариантов

Для двух кубиков запишите исходы как упорядоченные пары: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Все 36 равновероятны. Вероятность суммы — это число пар, которые её дают, делённое на 36: 1/36 для 2, 2/36 для 3, и так до 6/36 для 7, а потом снова вниз до 1/36 для 12. У трёх кубиков 6³ = 216 исходов, и 10 и 11 можно получить 27 способами каждое.

Джероламо Кардано считал так ещё в XVI веке. Позже Галилей объяснил итальянским игрокам, почему с тремя кубиками 10 выпадает чаще, чем 9, хотя оба числа можно записать как сумму трёх граней шестью способами: у 10 есть 27 упорядоченных исходов, а у 9 — только 25.

Ожидаемое и наблюдаемое

Ожидаемое число выпадений результата после N бросков равно N, умноженному на его вероятность. После 1000 бросков двух кубиков сумма 7 ожидается 1000 × 6/36 ≈ 167 раз, а 2 — около 28 раз. Наблюдаемые числа разбросаны вокруг этих значений. Для результата с вероятностью p и ожидаемым числом E = Np типичный разброс равен √(E(1 − p)), так что 167 ± 12 и 28 ± 5 — вполне обычные результаты. В приложении пунктирные контуры — это ожидаемые числа, а закрашенные столбцы — наблюдаемые.

Закон больших чисел и колоколообразная кривая

Чем больше бросков, тем ближе каждая доля к своей вероятности: это закон больших чисел. Абсолютные отклонения растут, но медленнее, чем число бросков, поэтому в процентах столбцы всё точнее совпадают с контурами. Добавьте кубиков, и распределение суммы станет колоколообразной кривой. С пятью кубиками 26 возможных сумм уже близко следуют нормальной кривой: так работает центральная предельная теорема.

Проверка кубика: критерий хи-квадрат

Критерий хи-квадрат Карла Пирсона, предложенный в 1900 году, измеряет, насколько наблюдаемые частоты O отличаются от ожидаемых частот E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Для честных кубиков эта сумма приблизительно подчиняется распределению хи-квадрат с числом степеней свободы на единицу меньше числа столбцов: 5 для одного кубика, 10 для сумм двух кубиков. p-значение — это вероятность получить χ² не меньше измеренного, если кубики честные. Большое p означает, что частоты согласуются; p ниже 0,05 — тревожный сигнал, хотя одна из двадцати серий с честными кубиками тоже туда попадает. Критерию нужны не слишком маленькие ожидаемые частоты, поэтому приложение ждёт, пока бросков станет достаточно.

Исследуйте в PictorX

Откройте «Броски кубиков» — один кубик уже катится, 100 раз в секунду, до 1000 бросков. Выберите до пяти кубиков, число бросков и скорость. «Число бросков» показывает количества, «Процент бросков» — доли, так что серии разной длины легко сравнивать. Утяжелённый кубик показывает шестёрку вдвое чаще любой другой грани: смотрите, как её столбец выходит за пунктирный контур, а критерий хи-квадрат разоблачает кубик. «Замедленная съёмка» показывает, как кувыркается каждый бросок; нажмите на кубики или клавишу Enter, чтобы бросить один раз самому. Сохраните PNG диаграммы или сравните с доской Гальтона, где множество маленьких случайных шагов тоже складывается в колоколообразную кривую.