Peluang dadu

Sisi yang sama peluangnya

Dadu yang seimbang adalah kubus yang sama mungkinnya mendarat pada setiap sisinya yang enam, jadi peluang setiap sisi adalah 1/6. Pada dadu standar, sisi-sisi yang berseberangan berjumlah 7. Itu tidak mengubah peluang; itu hanya membuat dadu yang salah cetak lebih mudah dikenali.

Menghitung cara

Dengan dua dadu, tuliskan hasilnya sebagai pasangan berurutan: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Ke-36 hasil itu sama peluangnya. Peluang suatu jumlah adalah banyaknya pasangan yang menghasilkannya dibagi 36: 1/36 untuk 2, 2/36 untuk 3, naik sampai 6/36 untuk 7, lalu turun lagi sampai 1/36 untuk 12. Tiga dadu punya 6³ = 216 hasil, dan 10 serta 11 masing-masing bisa dibentuk dengan 27 cara.

Gerolamo Cardano sudah menghitung seperti ini pada abad ke-16. Kemudian Galileo menjelaskan kepada para penjudi Italia mengapa dengan tiga dadu 10 lebih sering muncul daripada 9, padahal keduanya bisa ditulis sebagai jumlah tiga mata dadu dengan enam cara: 10 punya 27 hasil berurutan, sedangkan 9 hanya 25.

Yang diharapkan dan yang teramati

Jumlah harapan suatu hasil setelah N lemparan adalah N kali peluangnya. Setelah 1.000 lemparan dua dadu, 7 diharapkan muncul 1.000 × 6/36 ≈ 167 kali dan 2 sekitar 28 kali. Jumlah yang teramati tersebar di sekitar angka-angka ini. Untuk hasil dengan peluang p dan jumlah harapan E = Np, sebaran yang lazim adalah √(E(1 − p)), jadi 167 ± 12 dan 28 ± 5 adalah hasil yang biasa. Di aplikasi ini, garis putus-putus adalah jumlah harapan dan batang yang terisi adalah jumlah teramati.

Hukum bilangan besar dan kurva lonceng

Makin sering Anda melempar, makin dekat setiap bagian ke peluangnya: itulah hukum bilangan besar. Simpangan absolutnya membesar, tetapi lebih lambat daripada jumlah lemparan, sehingga dalam persen batang-batangnya makin pas dengan garis putus-putus. Tambahkan dadu dan distribusi jumlahnya menjadi kurva lonceng. Dengan lima dadu, 26 jumlah yang mungkin sudah mengikuti kurva normal dengan rapat: teorema limit pusat sedang bekerja.

Menguji dadu: uji chi-kuadrat

Uji chi-kuadrat Karl Pearson dari tahun 1900 mengukur seberapa jauh jumlah teramati O dari jumlah harapan E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Untuk dadu yang seimbang, jumlah ini kira-kira mengikuti distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan satu lebih sedikit daripada banyaknya batang: 5 untuk satu dadu, 10 untuk jumlah dua dadu. Nilai p adalah peluang mendapat χ² yang setidaknya sebesar itu jika dadunya seimbang. Nilai p yang besar berarti jumlahnya cocok; p di bawah 0,05 adalah peringatan, meskipun satu dari dua puluh percobaan dengan dadu seimbang juga sampai ke sana. Uji ini membutuhkan jumlah harapan yang tidak terlalu kecil, karena itu aplikasi menunggu sampai lemparannya cukup.

Jelajahi di PictorX

Buka Lempar dadu dan satu dadu langsung berguling, 100 kali per detik, sampai 1.000 lemparan. Pilih hingga lima dadu, jumlah lemparan, dan kecepatannya. Jumlah lemparan menampilkan banyaknya kemunculan; Persentase lemparan menampilkan bagiannya, sehingga percobaan dengan panjang berbeda mudah dibandingkan. Dadu curang memunculkan angka enam dua kali lebih sering daripada setiap sisi lain: lihat batangnya menjulang melewati garis putus-putus dan uji chi-kuadrat menangkapnya. Gerak lambat membuat setiap lemparan terlihat berguling; klik dadu atau tekan Enter untuk melempar sekali sendiri. Simpan PNG diagramnya, atau bandingkan dengan papan Galton, tempat banyak langkah acak kecil juga menumpuk menjadi kurva lonceng.