サイコロの確率

同じ確率で出る面

公正なサイコロとは、6つの面のどれを上にして止まるのも同じくらい起こりやすい立方体のことで、どの面の確率も1/6です。標準的なサイコロでは、向かい合う面の目を足すと7になります。これで確率が変わるわけではありませんが、目を打ち間違えたサイコロを見つけやすくなります。

出方を数える

サイコロ2個の場合、結果を順序のある組として書きます。(1, 1), (1, 2), …, (6, 6) です。36通りはどれも同じくらい起こりやすいものです。ある合計の確率は、その合計になる組の数を36で割ったもので、2は1/36、3は2/36、7で6/36まで増え、12で再び1/36まで減ります。サイコロ3個では 6³ = 216 通りの結果があり、10と11はそれぞれ27通りで作れます。

ジェロラモ・カルダーノは16世紀にすでにこのように数えていました。のちにガリレオは、イタリアの賭博師たちに、サイコロ3個では10が9より多く出る理由を説明しました。どちらも3つの目の和としては6通りに書けますが、順序を考えると10は27通り、9は25通りしかないのです。

期待度数と観測度数

N回振ったあとの、ある結果の期待度数は、N にその確率を掛けたものです。サイコロ2個を1,000回振ると、7は 1,000 × 6/36 ≈ 167 回、2は約28回が期待されます。観測度数はこれらの数のまわりにばらつきます。確率 p、期待度数 E = Np の結果では、典型的なばらつきは √(E(1 − p)) なので、167 ± 12 や 28 ± 5 はごく普通の結果です。アプリでは、点線の枠が期待度数、塗りつぶした棒が観測度数です。

大数の法則とベルカーブ

振れば振るほど、それぞれの割合は確率に近づきます。これが大数の法則です。差の絶対値は大きくなりますが、振った回数ほど速くは増えないため、割合で見ると棒は枠にどんどんよく重なっていきます。サイコロを増やすと、合計の分布はベルカーブになります。サイコロ5個では、26通りの合計がすでに正規分布の曲線にぴったり沿います。中心極限定理のはたらきです。

サイコロを検定する：カイ二乗検定

カール・ピアソンが1900年に考案したカイ二乗検定は、観測度数 O が期待度数 E からどれだけ離れているかを測ります。

χ² = Σ (O − E)² / E

公正なサイコロなら、この和はおよそカイ二乗分布に従います。その自由度は棒の数より1小さく、サイコロ1個なら5、サイコロ2個の合計なら10です。p 値は、サイコロが公正だとしたとき、これ以上大きな χ² が出る確率です。p が大きければ度数は理論と合っています。p が0.05を下回れば警告ですが、公正なサイコロでも20回に1回はそこに達します。この検定には小さすぎない期待度数が必要なので、アプリは十分な回数を振るまで待ちます。

PictorX で探ってみる

「サイコロを振る」を開くと、サイコロ1個がもう転がっています。1秒に100回、1,000回まで振ります。サイコロは5個まで選べ、振る回数と速さも変えられます。「回数」は度数を、「割合」は全体に占める割合を表示するので、長さの違う試行も比べやすくなります。イカサマサイコロは、6をほかのどの面の2倍も出します。その棒が点線の枠から飛び出し、カイ二乗検定が見破る様子を見てください。「スローモーション」では1回ごとにサイコロが転がります。サイコロをクリックするか Enter キーを押すと、自分で1回振れます。グラフを PNG で保存したり、たくさんの小さなランダムな歩みがやはりベルカーブになるゴルトンボードと比べたりしてみましょう。