Probabilités des dés

Des faces équiprobables

Un dé équilibré est un cube qui a autant de chances de tomber sur chacune de ses six faces ; chaque face a donc une probabilité de 1/6. Sur un dé standard, les faces opposées totalisent 7. Cela ne change pas les chances ; cela permet seulement de repérer plus facilement un dé mal imprimé.

Compter les façons

Avec deux dés, écrivez les résultats sous forme de couples ordonnés : (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Les 36 sont équiprobables. La probabilité d’une somme est le nombre de couples qui la donnent divisé par 36 : 1/36 pour 2, 2/36 pour 3, jusqu’à 6/36 pour 7, puis de nouveau 1/36 pour 12. Trois dés ont 6³ = 216 résultats, et 10 et 11 s’obtiennent chacun de 27 façons.

Gerolamo Cardano comptait déjà ainsi au XVIe siècle. Plus tard, Galilée expliqua à des joueurs italiens pourquoi 10 sort plus souvent que 9 avec trois dés, alors que les deux s’écrivent de six façons comme somme de trois faces : 10 a 27 résultats ordonnés et 9 seulement 25.

Attendu et observé

Le nombre attendu d’un résultat après N lancers est N fois sa probabilité. Après 1 000 lancers de deux dés, le 7 est attendu 1 000 × 6/36 ≈ 167 fois et le 2 environ 28 fois. Les nombres observés se dispersent autour de ces valeurs. Pour un résultat de probabilité p et de nombre attendu E = Np, l’écart typique est √(E(1 − p)) ; 167 ± 12 et 28 ± 5 sont donc des résultats ordinaires. Dans l’application, les contours en pointillés sont les nombres attendus et les barres pleines les nombres observés.

La loi des grands nombres et la courbe en cloche

Plus vous lancez, plus chaque part se rapproche de sa probabilité : c’est la loi des grands nombres. Les écarts absolus grandissent, mais moins vite que le nombre de lancers ; en pourcentage, les barres s’alignent donc de mieux en mieux sur les contours. Ajoutez des dés et la distribution de la somme devient une courbe en cloche. Avec cinq dés, les 26 sommes possibles suivent déjà de près une courbe normale : le théorème central limite à l’œuvre.

Tester un dé : le test du khi-deux

Le test du khi-deux, proposé par Karl Pearson en 1900, mesure l’écart entre les effectifs observés O et les effectifs attendus E :

χ² = Σ (O − E)² / E

Pour des dés équilibrés, cette somme suit approximativement une loi du khi-deux dont le nombre de degrés de liberté est le nombre de barres moins un : 5 pour un dé, 10 pour les sommes de deux dés. La valeur p est la probabilité d’obtenir un χ² au moins aussi grand si les dés sont équilibrés. Un p élevé signifie que les effectifs concordent ; un p inférieur à 0,05 est un avertissement, même si une série sur vingt avec des dés équilibrés y arrive aussi. Le test a besoin d’effectifs attendus pas trop petits : c’est pourquoi l’application attend d’avoir assez de lancers.

L’explorer dans PictorX

Ouvrez Lancer de dés : un dé roule déjà, 100 fois par seconde, jusqu’à 1 000 lancers. Choisissez jusqu’à cinq dés, le nombre de lancers et la vitesse. Nombre de lancers affiche les effectifs ; Pourcentage des lancers affiche les parts, ce qui permet de comparer facilement des séries de longueurs différentes. Le dé truqué montre son six deux fois plus souvent que chaque autre face : regardez sa barre sortir du contour en pointillés et le test du khi-deux le démasquer. Ralenti fait rouler chaque lancer ; cliquez sur les dés ou appuyez sur Entrée pour lancer vous-même une fois. Enregistrez un PNG du graphique, ou comparez avec la planche de Galton, où de nombreux petits pas aléatoires s’additionnent aussi en une courbe en cloche.