주사위 확률

똑같이 나올 수 있는 면

공정한 주사위는 여섯 면 중 어느 면으로든 똑같이 떨어질 수 있는 정육면체이므로, 각 면의 확률은 1/6입니다. 표준 주사위에서는 마주 보는 면의 눈을 더하면 7이 됩니다. 이것이 확률을 바꾸지는 않지만, 눈이 잘못 찍힌 주사위를 알아보기 쉽게 해 줍니다.

경우의 수 세기

주사위 두 개의 결과를 순서쌍으로 적어 봅시다. (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). 36가지 모두 똑같이 일어날 수 있습니다. 어떤 합의 확률은 그 합이 되는 순서쌍의 수를 36으로 나눈 값입니다. 2는 1/36, 3은 2/36, 7에서 6/36까지 올라갔다가 12에서 다시 1/36으로 내려갑니다. 주사위 세 개는 6³ = 216가지 결과가 있고, 10과 11은 각각 27가지 방법으로 만들 수 있습니다.

지롤라모 카르다노는 16세기에 이미 이렇게 셌습니다. 훗날 갈릴레오는 이탈리아의 도박꾼들에게, 주사위 세 개에서 왜 10이 9보다 자주 나오는지 설명했습니다. 둘 다 세 눈의 합으로 쓰는 방법은 여섯 가지이지만, 순서를 따지면 10은 27가지, 9는 25가지뿐입니다.

예상과 관측

N번 굴린 뒤 어떤 결과의 예상 횟수는 N에 그 확률을 곱한 값입니다. 주사위 두 개를 1,000번 굴리면 7은 1,000 × 6/36 ≈ 167번, 2는 약 28번 나올 것으로 예상됩니다. 관측된 횟수는 이 수들 주위에 흩어집니다. 확률이 p이고 예상 횟수가 E = Np인 결과의 전형적인 퍼짐은 √(E(1 − p))이므로, 167 ± 12와 28 ± 5는 평범한 결과입니다. 앱에서 점선 윤곽은 예상 횟수이고, 채워진 막대는 관측된 횟수입니다.

큰 수의 법칙과 종 모양 곡선

많이 굴릴수록 각 비율은 확률에 가까워집니다. 이것이 큰 수의 법칙입니다. 절대적인 차이는 커지지만 굴린 횟수보다는 천천히 커지므로, 백분율로 보면 막대가 윤곽과 점점 더 잘 맞습니다. 주사위를 늘리면 합의 분포가 종 모양 곡선이 됩니다. 주사위 다섯 개에서는 가능한 26가지 합이 벌써 정규 곡선을 바짝 따릅니다. 중심극한정리가 작동하는 모습입니다.

주사위 검사하기: 카이제곱 검정

1900년에 칼 피어슨이 만든 카이제곱 검정은 관측 횟수 O가 예상 횟수 E에서 얼마나 떨어져 있는지를 잽니다.

χ² = Σ (O − E)² / E

공정한 주사위라면 이 합은 근사적으로 카이제곱 분포를 따르며, 그 자유도는 막대 수보다 하나 적습니다. 주사위 하나는 5, 주사위 두 개의 합은 10입니다. p값은 주사위가 공정할 때 적어도 그만큼 큰 χ²가 나올 확률입니다. p가 크면 횟수가 잘 맞는다는 뜻이고, p가 0.05보다 작으면 경고입니다. 다만 공정한 주사위로도 스무 번에 한 번은 그렇게 됩니다. 이 검정은 예상 횟수가 너무 작지 않아야 하므로, 앱은 충분히 굴릴 때까지 기다립니다.

PictorX에서 탐구하기

주사위 굴리기를 열면 주사위 하나가 벌써 구르고 있습니다. 1초에 100번씩, 1,000번까지 굴립니다. 주사위는 다섯 개까지 고를 수 있고, 굴릴 횟수와 속도도 정할 수 있습니다. 횟수는 개수를, 백분율은 비율을 보여 주므로 길이가 다른 시행도 쉽게 비교할 수 있습니다. 조작된 주사위는 6이 다른 각 면보다 두 배 자주 나옵니다. 그 막대가 점선 윤곽 위로 솟아오르고 카이제곱 검정이 그것을 잡아내는 모습을 보세요. 슬로 모션에서는 굴릴 때마다 주사위가 굴러가는 모습이 보입니다. 주사위를 클릭하거나 Enter 키를 누르면 직접 한 번 굴릴 수 있습니다. 그래프를 PNG로 저장하거나, 작은 무작위 걸음이 많이 모여 역시 종 모양 곡선이 되는 갈톤 보드와 비교해 보세요.