Probabilidad de los dados

Caras equiprobables

Un dado equilibrado es un cubo que tiene la misma probabilidad de caer en cada una de sus seis caras, así que cada cara tiene probabilidad 1/6. En un dado estándar, las caras opuestas suman 7. Eso no cambia las probabilidades; solo hace más fácil detectar un dado mal impreso.

Contar las formas

Con dos dados, escribe los resultados como pares ordenados: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Los 36 son equiprobables. La probabilidad de una suma es el número de pares que la dan dividido entre 36: 1/36 para el 2, 2/36 para el 3, hasta 6/36 para el 7, y bajando de nuevo hasta 1/36 para el 12. Tres dados tienen 6³ = 216 resultados, y el 10 y el 11 se pueden obtener de 27 formas cada uno.

Gerolamo Cardano ya contaba así en el siglo XVI. Más tarde, Galileo explicó a unos jugadores italianos por qué con tres dados el 10 sale más a menudo que el 9, aunque ambos se pueden escribir de seis formas como suma de tres caras: el 10 tiene 27 resultados ordenados y el 9 solo 25.

Esperado y observado

La frecuencia esperada de un resultado tras N tiradas es N veces su probabilidad. Tras 1000 tiradas de dos dados, se espera el 7 1000 × 6/36 ≈ 167 veces y el 2 unas 28 veces. Las frecuencias observadas se dispersan alrededor de estos números. Para un resultado con probabilidad p y frecuencia esperada E = Np, la dispersión típica es √(E(1 − p)), así que 167 ± 12 y 28 ± 5 son resultados normales. En la aplicación, los contornos discontinuos son las frecuencias esperadas y las barras rellenas, las observadas.

La ley de los grandes números y la campana de Gauss

Cuanto más lanzas, más se acerca cada proporción a su probabilidad: es la ley de los grandes números. Las desviaciones absolutas crecen, pero más despacio que el número de tiradas, así que en porcentaje las barras se ajustan cada vez mejor a los contornos. Añade más dados y la distribución de la suma se convierte en una campana de Gauss. Con cinco dados, las 26 sumas posibles ya siguen de cerca una curva normal: el teorema del límite central en acción.

Poner a prueba un dado: la prueba de chi cuadrado

La prueba de chi cuadrado de Karl Pearson, de 1900, mide cuánto se alejan las frecuencias observadas O de las esperadas E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Con dados equilibrados, esta suma sigue aproximadamente una distribución chi cuadrado cuyos grados de libertad son el número de barras menos uno: 5 para un dado, 10 para las sumas de dos dados. El valor p es la probabilidad de obtener un χ² al menos igual de grande si los dados están equilibrados. Un p grande significa que las frecuencias encajan; un p por debajo de 0,05 es una advertencia, aunque una de cada veinte series con dados equilibrados también llega ahí. La prueba necesita frecuencias esperadas no demasiado pequeñas, y por eso la aplicación espera a tener suficientes tiradas.

Explóralo en PictorX

Abre Lanzamiento de dados y un dado ya está rodando, 100 veces por segundo, hasta 1000 tiradas. Elige hasta cinco dados, el número de tiradas y la velocidad. Número de tiradas muestra recuentos; Porcentaje de tiradas muestra proporciones, lo que facilita comparar series de distinta longitud. El dado cargado muestra su seis el doble que cada una de las otras caras: mira cómo su barra sobresale del contorno discontinuo y cómo la prueba de chi cuadrado lo descubre. Cámara lenta hace rodar cada tirada; haz clic en los dados o pulsa Intro para lanzar tú una vez. Guarda un PNG del gráfico o compáralo con la máquina de Galton, donde muchos pequeños pasos aleatorios también suman una campana de Gauss.