Probabilitatea zarurilor

Fețe la fel de probabile

Un zar corect este un cub care are aceeași probabilitate de a cădea pe oricare dintre cele șase fețe, deci fiecare față are probabilitatea 1/6. Pe un zar obișnuit, fețele opuse dau împreună 7. Asta nu schimbă șansele; doar face mai ușor de observat un zar marcat greșit.

Numărarea modurilor

Cu două zaruri, scrie rezultatele ca perechi ordonate: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Toate cele 36 sunt la fel de probabile. Probabilitatea unei sume este numărul de perechi care o dau, împărțit la 36: 1/36 pentru 2, 2/36 pentru 3, până la 6/36 pentru 7 și apoi din nou în jos până la 1/36 pentru 12. Trei zaruri au 6³ = 216 rezultate, iar 10 și 11 se pot obține fiecare în 27 de moduri.

Gerolamo Cardano număra deja astfel în secolul al XVI-lea. Mai târziu, Galileo le-a explicat unor jucători italieni de ce, cu trei zaruri, 10 iese mai des decât 9, deși ambele pot fi scrise în șase moduri ca sumă a trei fețe: 10 are 27 de rezultate ordonate, iar 9 doar 25.

Așteptat și observat

Numărul așteptat de apariții ale unui rezultat după N aruncări este N înmulțit cu probabilitatea lui. După 1.000 de aruncări cu două zaruri, 7 este așteptat de 1.000 × 6/36 ≈ 167 de ori, iar 2 de circa 28 de ori. Numerele observate se împrăștie în jurul acestor valori. Pentru un rezultat cu probabilitatea p și numărul așteptat E = Np, împrăștierea tipică este √(E(1 − p)), deci 167 ± 12 și 28 ± 5 sunt rezultate obișnuite. În aplicație, contururile cu linie întreruptă sunt numerele așteptate, iar barele pline cele observate.

Legea numerelor mari și curba clopot

Cu cât arunci mai mult, cu atât fiecare pondere se apropie de probabilitatea ei: legea numerelor mari. Abaterile absolute cresc, dar mai încet decât numărul de aruncări, așa că, în procente, barele se aliniază tot mai bine cu contururile. Adaugă mai multe zaruri și distribuția sumei devine o curbă clopot. Cu cinci zaruri, cele 26 de sume posibile urmează deja îndeaproape o curbă normală: teorema limită centrală la lucru.

Testarea unui zar: testul chi-pătrat

Testul chi-pătrat al lui Karl Pearson, din 1900, măsoară cât de departe sunt numerele observate O de numerele așteptate E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Pentru zaruri corecte, această sumă urmează aproximativ o distribuție chi-pătrat cu un număr de grade de libertate cu unu mai mic decât numărul de bare: 5 pentru un zar, 10 pentru sumele a două zaruri. Valoarea p este șansa unui χ² cel puțin la fel de mare dacă zarurile sunt corecte. Un p mare înseamnă că numerele se potrivesc; un p sub 0,05 este un avertisment, deși una din douăzeci de serii cu zaruri corecte ajunge și ea acolo. Testul are nevoie de numere așteptate nu prea mici, de aceea aplicația așteaptă destule aruncări.

Explorează în PictorX

Deschide Aruncarea zarurilor și un zar se rostogolește deja, de 100 de ori pe secundă, până la 1.000 de aruncări. Alege până la cinci zaruri, numărul de aruncări și viteza. Număr de aruncări arată numărul de apariții; Procent din aruncări arată ponderile, ceea ce face ușor de comparat serii de lungimi diferite. Zarul măsluit arată fața șase de două ori mai des decât fiecare altă față: urmărește cum bara ei iese din conturul cu linie întreruptă și cum testul chi-pătrat îl prinde. Reluare lentă lasă fiecare aruncare să se rostogolească; fă clic pe zaruri sau apasă Enter ca să arunci tu o dată. Salvează un PNG cu graficul sau compară cu tabla lui Galton, unde mulți pași aleatori mici se adună tot într-o curbă clopot.