Prawdopodobieństwo w rzutach kośćmi

Jednakowo prawdopodobne ścianki

Uczciwa kość to sześcian, który z jednakowym prawdopodobieństwem ląduje na każdej ze swoich sześciu ścianek, więc każda ścianka ma prawdopodobieństwo 1/6. Na standardowej kości przeciwległe ścianki dają w sumie 7. Nie zmienia to szans; ułatwia tylko wykrycie źle oznaczonej kości.

Liczenie sposobów

Przy dwóch kościach zapisz wyniki jako pary uporządkowane: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Wszystkie 36 są jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo sumy to liczba par, które ją dają, podzielona przez 36: 1/36 dla 2, 2/36 dla 3, aż do 6/36 dla 7 i z powrotem w dół do 1/36 dla 12. Trzy kości dają 6³ = 216 wyników, a 10 i 11 można uzyskać na 27 sposobów każdą.

Gerolamo Cardano liczył w ten sposób już w XVI wieku. Później Galileusz wyjaśnił włoskim graczom, dlaczego przy trzech kościach 10 wypada częściej niż 9, choć obie liczby można zapisać jako sumę trzech oczek na sześć sposobów: 10 ma 27 uporządkowanych wyników, a 9 tylko 25.

Oczekiwane i obserwowane

Oczekiwana liczba wystąpień wyniku po N rzutach to N razy jego prawdopodobieństwo. Po 1000 rzutach dwiema kośćmi oczekuje się, że 7 wypadnie 1000 × 6/36 ≈ 167 razy, a 2 około 28 razy. Obserwowane liczby rozrzucają się wokół tych wartości. Dla wyniku o prawdopodobieństwie p i oczekiwanej liczbie E = Np typowy rozrzut wynosi √(E(1 − p)), więc 167 ± 12 i 28 ± 5 to zwyczajne wyniki. W aplikacji przerywane obrysy to liczby oczekiwane, a wypełnione słupki – obserwowane.

Prawo wielkich liczb i krzywa dzwonowa

Im więcej rzucasz, tym bardziej każdy udział zbliża się do swojego prawdopodobieństwa: to prawo wielkich liczb. Bezwzględne odchylenia rosną, ale wolniej niż liczba rzutów, więc w procentach słupki coraz lepiej pokrywają się z obrysami. Dodaj więcej kości, a rozkład sumy stanie się krzywą dzwonową. Przy pięciu kościach 26 możliwych sum już ściśle podąża za krzywą normalną: tak działa centralne twierdzenie graniczne.

Sprawdzanie kości: test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat Karla Pearsona z 1900 roku mierzy, jak daleko obserwowane liczby O odbiegają od oczekiwanych liczb E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Dla uczciwych kości ta suma ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat, w którym liczba stopni swobody jest o jeden mniejsza niż liczba słupków: 5 dla jednej kości, 10 dla sum dwóch kości. Wartość p to szansa na χ² co najmniej tak duże, jeśli kości są uczciwe. Duże p oznacza, że liczby pasują; p poniżej 0,05 to ostrzeżenie, choć co dwudziesta seria z uczciwymi kośćmi też tam trafia. Test potrzebuje oczekiwanych liczb, które nie są zbyt małe, dlatego aplikacja czeka na wystarczająco wiele rzutów.

Odkryj to w PictorX

Otwórz Rzucanie kośćmi, a jedna kość już się toczy, 100 razy na sekundę, aż do 1000 rzutów. Wybierz do pięciu kości, liczbę rzutów i tempo. Liczba rzutów pokazuje liczebności; Procent rzutów pokazuje udziały, dzięki czemu łatwo porównać serie różnej długości. Obciążona kość pokazuje szóstkę dwa razy częściej niż każdą inną ściankę: patrz, jak jej słupek wyrasta ponad przerywany obrys, a test chi-kwadrat ją przyłapuje. Zwolnione tempo pozwala zobaczyć, jak toczy się każdy rzut; kliknij kości lub naciśnij Enter, aby samemu rzucić raz. Zapisz PNG wykresu albo porównaj z deską Galtona, gdzie wiele małych losowych kroków także sumuje się w krzywą dzwonową.