Probabilità dei dadi

Facce equiprobabili

Un dado equo è un cubo che ha la stessa probabilità di fermarsi su ciascuna delle sue sei facce, quindi ogni faccia ha probabilità 1/6. In un dado standard le facce opposte sommano 7. Questo non cambia le probabilità; rende solo più facile riconoscere un dado stampato male.

Contare i modi

Con due dadi, scrivi i risultati come coppie ordinate: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Tutte le 36 sono equiprobabili. La probabilità di una somma è il numero di coppie che la danno diviso 36: 1/36 per il 2, 2/36 per il 3, fino a 6/36 per il 7, e poi di nuovo giù fino a 1/36 per il 12. Tre dadi hanno 6³ = 216 risultati, e il 10 e l’11 si possono ottenere ciascuno in 27 modi.

Gerolamo Cardano contava così già nel XVI secolo. Più tardi Galileo spiegò ad alcuni giocatori italiani perché con tre dadi il 10 esce più spesso del 9, anche se entrambi si possono scrivere in sei modi come somma di tre facce: il 10 ha 27 risultati ordinati e il 9 solo 25.

Atteso e osservato

La frequenza attesa di un risultato dopo N lanci è N volte la sua probabilità. Dopo 1.000 lanci di due dadi, il 7 è atteso 1.000 × 6/36 ≈ 167 volte e il 2 circa 28 volte. Le frequenze osservate si disperdono intorno a questi numeri. Per un risultato con probabilità p e frequenza attesa E = Np la dispersione tipica è √(E(1 − p)), quindi 167 ± 12 e 28 ± 5 sono risultati normali. Nell’app i contorni tratteggiati sono le frequenze attese e le barre piene quelle osservate.

La legge dei grandi numeri e la curva a campana

Più lanci, più ogni quota si avvicina alla sua probabilità: è la legge dei grandi numeri. Le deviazioni assolute crescono, ma più lentamente del numero di lanci, così in percentuale le barre si allineano sempre meglio ai contorni. Aggiungi dadi e la distribuzione della somma diventa una curva a campana. Con cinque dadi le 26 somme possibili seguono già da vicino una curva normale: è il teorema del limite centrale all’opera.

Mettere alla prova un dado: il test del chi quadrato

Il test del chi quadrato di Karl Pearson, del 1900, misura quanto le frequenze osservate O si discostano da quelle attese E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Con dadi equi questa somma segue approssimativamente una distribuzione chi quadrato con un numero di gradi di libertà pari al numero di barre meno uno: 5 per un dado, 10 per le somme di due dadi. Il valore p è la probabilità di un χ² almeno altrettanto grande se i dadi sono equi. Un p grande significa che le frequenze tornano; un p sotto 0,05 è un avvertimento, anche se una serie su venti con dadi equi ci arriva comunque. Il test ha bisogno di frequenze attese non troppo piccole, ed è per questo che l’app aspetta abbastanza lanci.

Esploralo in PictorX

Apri Lancio dei dadi e un dado sta già rotolando, 100 volte al secondo, fino a 1.000 lanci. Scegli fino a cinque dadi, il numero di lanci e la velocità. Numero di lanci mostra i conteggi; Percentuale di lanci mostra le quote, così è facile confrontare serie di lunghezza diversa. Il dado truccato mostra il sei il doppio di ogni altra faccia: guarda la sua barra uscire dal contorno tratteggiato e il test del chi quadrato smascherarlo. Rallentatore fa rotolare ogni lancio; fai clic sui dadi o premi Invio per lanciare tu stesso una volta. Salva un PNG del grafico, oppure confronta con la macchina di Galton, dove anche tanti piccoli passi casuali si sommano in una curva a campana.