Probabilidade dos dados

Faces equiprováveis

Um dado equilibrado é um cubo com a mesma probabilidade de cair em cada uma das suas seis faces, por isso cada face tem probabilidade 1/6. Num dado normal, as faces opostas somam 7. Isso não muda as probabilidades; apenas torna mais fácil reconhecer um dado mal impresso.

Contar as maneiras

Com dois dados, escreva os resultados como pares ordenados: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Os 36 são equiprováveis. A probabilidade de uma soma é o número de pares que a dão dividido por 36: 1/36 para o 2, 2/36 para o 3, até 6/36 para o 7, e depois descendo de novo até 1/36 para o 12. Três dados têm 6³ = 216 resultados, e o 10 e o 11 podem ser obtidos de 27 maneiras cada.

Gerolamo Cardano já contava assim no século XVI. Mais tarde, Galileu explicou a jogadores italianos por que razão, com três dados, o 10 sai mais vezes do que o 9, embora ambos possam ser escritos de seis maneiras como soma de três faces: o 10 tem 27 resultados ordenados e o 9 apenas 25.

Esperado e observado

A frequência esperada de um resultado após N lançamentos é N vezes a sua probabilidade. Após 1000 lançamentos de dois dados, espera-se o 7 1000 × 6/36 ≈ 167 vezes e o 2 cerca de 28 vezes. As frequências observadas variam em torno destes números. Para um resultado com probabilidade p e frequência esperada E = Np, a dispersão típica é √(E(1 − p)), por isso 167 ± 12 e 28 ± 5 são resultados normais. No simulador, os contornos tracejados são as frequências esperadas e as barras cheias as observadas.

A lei dos grandes números e a curva de sino

Quanto mais lançar, mais cada proporção se aproxima da sua probabilidade: é a lei dos grandes números. Os desvios absolutos crescem, mas mais devagar do que o número de lançamentos, por isso, em percentagem, as barras alinham-se cada vez melhor com os contornos. Junte mais dados e a distribuição da soma torna-se uma curva de sino. Com cinco dados, as 26 somas possíveis já seguem de perto uma curva normal: o teorema central do limite em ação.

Testar um dado: o teste do qui-quadrado

O teste do qui-quadrado de Karl Pearson, de 1900, mede quanto as frequências observadas O se afastam das esperadas E:

χ² = Σ (O − E)² / E

Com dados equilibrados, esta soma segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado cujos graus de liberdade são o número de barras menos um: 5 para um dado, 10 para as somas de dois dados. O valor p é a probabilidade de um χ² pelo menos tão grande se os dados forem equilibrados. Um p grande significa que as frequências são compatíveis; um p abaixo de 0,05 é um aviso, embora uma em cada vinte séries com dados equilibrados também chegue lá. O teste precisa de frequências esperadas que não sejam muito pequenas, e é por isso que o simulador espera por lançamentos suficientes.

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Abra o Lançamento de dados e um dado começa logo a rolar, 100 vezes por segundo, até 1000 lançamentos. Escolha até cinco dados, o número de lançamentos e a velocidade. Número de lançamentos mostra contagens; Percentagem de lançamentos mostra proporções, o que facilita comparar séries de comprimentos diferentes. O dado viciado mostra o seis duas vezes mais do que cada uma das outras faces: veja a sua barra sair do contorno tracejado e o teste do qui-quadrado desmascará-lo. Câmara lenta deixa cada lançamento rolar; clique nos dados ou use a tecla Enter para fazer um lançamento à mão. Guarde um PNG do gráfico ou compare com o tabuleiro de Galton, onde muitos pequenos passos aleatórios também se somam numa curva de sino.