Sannolikhet med tärningar

Lika sannolika sidor

En rättvis tärning är en kub som landar med samma sannolikhet på var och en av sina sex sidor, så varje sida har sannolikheten 1/6. På en vanlig tärning blir motstående sidor tillsammans 7. Det ändrar inte chanserna; det gör bara en felmärkt tärning lättare att upptäcka.

Räkna sätten

Med två tärningar skriver man utfallen som ordnade par: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Alla 36 är lika sannolika. Sannolikheten för en summa är antalet par som ger den, delat med 36: 1/36 för 2, 2/36 för 3, upp till 6/36 för 7 och ner igen till 1/36 för 12. Tre tärningar har 6³ = 216 utfall, och 10 och 11 kan vardera fås på 27 sätt.

Gerolamo Cardano räknade redan så på 1500-talet. Senare förklarade Galileo för italienska spelare varför 10 kommer upp oftare än 9 med tre tärningar, fast båda kan skrivas som en summa av tre sidor på sex sätt: 10 har 27 ordnade utfall och 9 bara 25.

Förväntat och observerat

Det förväntade antalet för ett resultat efter N kast är N gånger dess sannolikhet. Efter 1 000 kast med två tärningar väntas 7 komma upp 1 000 × 6/36 ≈ 167 gånger och 2 ungefär 28 gånger. De observerade antalen sprids kring dessa tal. För ett resultat med sannolikheten p och förväntat antal E = Np är den typiska spridningen √(E(1 − p)), så 167 ± 12 och 28 ± 5 är helt vanliga resultat. I appen är de streckade konturerna de förväntade antalen och de fyllda staplarna de observerade.

Stora talens lag och klockkurvan

Ju mer du slår, desto närmare kommer varje andel sin sannolikhet: stora talens lag. De absoluta avvikelserna växer, men långsammare än antalet kast, så i procent passar staplarna allt bättre med konturerna. Lägg till fler tärningar så blir summans fördelning en klockkurva. Med fem tärningar följer de 26 möjliga summorna redan en normalfördelningskurva tätt: centrala gränsvärdessatsen i arbete.

Testa en tärning: chi-två-testet

Karl Pearsons chi-två-test från 1900 mäter hur långt de observerade antalen O ligger från de förväntade antalen E:

χ² = Σ (O − E)² / E

För rättvisa tärningar följer denna summa ungefär en chi-två-fördelning vars antal frihetsgrader är ett mindre än antalet staplar: 5 för en tärning, 10 för summorna av två tärningar. p-värdet är chansen för ett minst lika stort χ² om tärningarna är rättvisa. Ett stort p betyder att antalen stämmer; ett p under 0,05 är en varning, fast en av tjugo omgångar med rättvisa tärningar hamnar där också. Testet kräver förväntade antal som inte är för små, och därför väntar appen på tillräckligt många kast.

Utforska det i PictorX

Öppna Tärningskast så rullar redan en tärning, 100 gånger i sekunden, upp till 1 000 kast. Välj upp till fem tärningar, antalet kast och farten. Antal kast visar antal; Procent av kasten visar andelar, vilket gör det lätt att jämföra omgångar av olika längd. Den falska tärningen visar sin sexa dubbelt så ofta som varje annan sida: se dess stapel växa upp ur den streckade konturen och chi-två-testet avslöja den. Slow motion låter varje kast rulla; klicka på tärningarna eller tryck på Enter för att själv slå en gång. Spara en PNG av diagrammet, eller jämför med Galtonbrädan, där många små slumpsteg också summeras till en klockkurva.