احتمالات النرد

أوجه متساوية الاحتمال

حجر النرد العادل مكعب يسقط على أي وجه من أوجهه الستة بالاحتمال نفسه، لذا فاحتمال كل وجه 1/6. وفي حجر النرد القياسي يكون مجموع الوجهين المتقابلين 7. هذا لا يغيّر الفرص؛ بل يجعل اكتشاف حجر نرد مطبوع خطأً أسهل فقط.

عدّ الطرق

مع حجرَي نرد، اكتب النتائج على شكل أزواج مرتبة: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). وجميع النتائج الـ 36 متساوية الاحتمال. واحتمال مجموع ما هو عدد الأزواج التي تعطيه مقسومًا على 36: للمجموع 2 الاحتمال 1/36، وللمجموع 3 الاحتمال 2/36، صعودًا إلى 6/36 للمجموع 7، ثم نزولًا من جديد إلى 1/36 للمجموع 12. ولثلاثة أحجار نرد 6³ = 216 نتيجة، ويمكن تكوين كل من 10 و11 بـ 27 طريقة.

كان جيرولامو كاردانو يعدّ بهذه الطريقة في القرن السادس عشر. وفيما بعد شرح غاليليو لمقامرين إيطاليين لماذا يظهر 10 أكثر من 9 عند رمي ثلاثة أحجار نرد، مع أن كلًّا منهما يمكن كتابته مجموعًا لثلاثة أوجه بست طرق: فالعدد 10 تعطيه 27 نتيجة مرتبة، أما 9 فتعطيه 25 فقط.

المتوقع والمرصود

العدد المتوقع لنتيجة ما بعد N رمية هو N مضروبًا في احتمالها. بعد 1,000 رمية لحجرَي نرد يُتوقع ظهور 7 بعدد 1,000 × 6/36 ≈ 167 مرة، وظهور 2 نحو 28 مرة. وتتبعثر الأعداد المرصودة حول هذه الأرقام. فلنتيجة احتمالها p وعددها المتوقع E = Np يكون التشتت المعتاد √(E(1 − p))، لذا فإن 167 ± 12 و28 ± 5 نتائج عادية. وفي التطبيق تمثّل الحدود المتقطعة الأعداد المتوقعة، والأعمدة الممتلئة الأعداد المرصودة.

قانون الأعداد الكبيرة ومنحنى الجرس

كلما رميت أكثر اقتربت كل حصة من احتمالها: هذا هو قانون الأعداد الكبيرة. تكبر الانحرافات المطلقة، لكن أبطأ من عدد الرميات، لذا تتطابق الأعمدة بالنسب المئوية مع الحدود تطابقًا أفضل فأفضل. أضف مزيدًا من النرد فيصبح توزيع المجموع منحنى جرس. ومع خمسة أحجار نرد تتبع المجاميع الـ 26 الممكنة منحنى طبيعيًا عن كثب: إنها مبرهنة النهاية المركزية وهي تعمل.

اختبار حجر النرد: اختبار كاي تربيع

يقيس اختبار كاي تربيع الذي وضعه كارل بيرسون عام 1900 مدى بُعد الأعداد المرصودة O عن الأعداد المتوقعة E:

χ² = Σ (O − E)² / E

وللنرد العادل يتبع هذا المجموع تقريبًا توزيع كاي تربيع، ودرجات حريته أقل من عدد الأعمدة بواحد: 5 لحجر نرد واحد، و10 لمجاميع حجرَي نرد. وقيمة p هي احتمال الحصول على χ² لا يقل عن ذلك إذا كان النرد عادلًا. وقيمة p الكبيرة تعني أن الأعداد متوافقة؛ أما p أقل من 0.05 فهي تحذير، مع أن جولة من كل عشرين جولة بنرد عادل تصل إلى ذلك أيضًا. ويحتاج الاختبار إلى أعداد متوقعة غير صغيرة جدًا، ولهذا ينتظر التطبيق حتى تتراكم رميات كافية.

استكشفه في PictorX

افتح «رمي النرد» فتجد حجر نرد يتدحرج بالفعل، 100 مرة في الثانية، حتى 1,000 رمية. اختر حتى خمسة أحجار نرد، وعدد الرميات، والسرعة. «عدد الرميات» يعرض الأعداد، و«نسبة الرميات المئوية» تعرض الحصص، فيسهل مقارنة جولات مختلفة الطول. يُظهر النرد المغشوش الستة ضعف كل وجه آخر: شاهد عموده يرتفع خارج الحدود المتقطعة واختبار كاي تربيع يكشفه. «حركة بطيئة» تجعل كل رمية تتدحرج أمامك؛ انقر النرد أو اضغط Enter لترمي مرة واحدة بنفسك. احفظ المخطط بصيغة PNG، أو قارنه بلوح غالتون، حيث تتراكم خطوات عشوائية صغيرة كثيرة أيضًا لتشكّل منحنى جرس.