पासों की प्रायिकता

समान रूप से संभावित फलक

निष्पक्ष पासा एक घन होता है जिसके अपने छह फलकों में से किसी पर भी गिरने की संभावना बराबर होती है, इसलिए हर फलक की प्रायिकता 1/6 है। मानक पासे पर आमने-सामने के फलकों का योग 7 होता है। इससे संभावनाएँ नहीं बदलतीं; बस ग़लत छपा पासा पहचानना आसान हो जाता है।

तरीक़े गिनना

दो पासों के परिणामों को क्रमित युग्मों के रूप में लिखें: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6)। सभी 36 समान रूप से संभावित हैं। किसी योग की प्रायिकता उन युग्मों की संख्या को 36 से भाग देने पर मिलती है जो वह योग देते हैं: 2 के लिए 1/36, 3 के लिए 2/36, 7 के लिए 6/36 तक, और फिर घटकर 12 के लिए 1/36। तीन पासों के 6³ = 216 परिणाम होते हैं, और 10 और 11 दोनों 27-27 तरीक़ों से बन सकते हैं।

जेरोलामो कार्दानो ने 16वीं सदी में इसी तरह गिनती की थी। बाद में गैलीलियो ने इतालवी जुआरियों को समझाया कि तीन पासों के साथ 10, 9 से ज़्यादा बार क्यों आता है, जबकि दोनों को तीन फलकों के योग के रूप में छह तरीक़ों से लिखा जा सकता है: 10 के 27 क्रमित परिणाम हैं और 9 के केवल 25।

अपेक्षित और प्रेक्षित

N फेंकों के बाद किसी परिणाम की अपेक्षित संख्या N गुणा उसकी प्रायिकता होती है। दो पासों के 1,000 फेंकों के बाद 7 के 1,000 × 6/36 ≈ 167 बार और 2 के लगभग 28 बार आने की अपेक्षा है। प्रेक्षित संख्याएँ इन संख्याओं के आसपास बिखरी रहती हैं। प्रायिकता p और अपेक्षित संख्या E = Np वाले परिणाम के लिए सामान्य फैलाव √(E(1 − p)) होता है, इसलिए 167 ± 12 और 28 ± 5 साधारण परिणाम हैं। ऐप में टूटी रेखा वाली रूपरेखाएँ अपेक्षित संख्याएँ हैं और भरे हुए स्तंभ प्रेक्षित संख्याएँ।

बड़ी संख्याओं का नियम और घंटाकार वक्र

आप जितना ज़्यादा फेंकते हैं, हर हिस्सा अपनी प्रायिकता के उतना ही क़रीब आता है: यही बड़ी संख्याओं का नियम है। निरपेक्ष विचलन बढ़ते हैं, पर फेंकों की संख्या से धीमे, इसलिए प्रतिशत में स्तंभ रूपरेखाओं से लगातार बेहतर मेल खाते हैं। और पासे जोड़ें तो योग का बंटन घंटाकार वक्र बन जाता है। पाँच पासों के साथ 26 संभावित योग पहले ही प्रसामान्य वक्र का बारीकी से अनुसरण करते हैं: यही केंद्रीय सीमा प्रमेय का असर है।

पासे की जाँच: काई-वर्ग परीक्षण

कार्ल पियर्सन का 1900 का काई-वर्ग परीक्षण मापता है कि प्रेक्षित संख्याएँ O अपेक्षित संख्याओं E से कितनी दूर हैं:

χ² = Σ (O − E)² / E

निष्पक्ष पासों के लिए यह योग लगभग काई-वर्ग बंटन का अनुसरण करता है, जिसकी स्वातंत्र्य कोटि स्तंभों की संख्या से एक कम होती है: एक पासे के लिए 5, दो पासों के योगों के लिए 10। p-मान वह प्रायिकता है कि पासे निष्पक्ष हों तो कम से कम इतना बड़ा χ² आए। बड़ा p बताता है कि संख्याएँ मेल खाती हैं; 0.05 से कम p एक चेतावनी है, हालाँकि निष्पक्ष पासों के साथ बीस में से एक दौर भी वहाँ पहुँच जाता है। परीक्षण के लिए अपेक्षित संख्याएँ बहुत छोटी नहीं होनी चाहिए, इसीलिए ऐप पर्याप्त फेंकों का इंतज़ार करता है।

PictorX में खोजें

“पासे फेंकना” खोलें और एक पासा पहले से लुढ़क रहा होता है, प्रति सेकंड 100 बार, 1,000 फेंकों तक। पाँच तक पासे, फेंकों की संख्या और गति चुनें। “फेंकों की संख्या” गिनती दिखाता है; “फेंकों का प्रतिशत” हिस्से दिखाता है, जिससे अलग-अलग लंबाई के दौरों की तुलना आसान हो जाती है। भारित पासा छह को हर दूसरे फलक से दोगुनी बार दिखाता है: देखें कि उसका स्तंभ टूटी रेखा वाली रूपरेखा से ऊपर निकलता है और काई-वर्ग परीक्षण उसे पकड़ लेता है। “धीमी गति” में हर फेंक लुढ़कती दिखती है; ख़ुद एक बार फेंकने के लिए पासों पर क्लिक करें या Enter दबाएँ। चार्ट का PNG सहेजें, या गैल्टन बोर्ड से तुलना करें, जहाँ बहुत-से छोटे यादृच्छिक कदम भी जुड़कर घंटाकार वक्र बनाते हैं।