Sandsynlighed med terninger

Lige sandsynlige sider

En fair terning lander med samme sandsynlighed på hver af sine seks sider, så hver side har sandsynligheden 1/6. På en almindelig terning giver modstående sider tilsammen 7. Det ændrer ikke chancerne; det gør bare en fejltrykt terning lettere at opdage.

Tæl måderne

Med to terninger skriver man udfaldene som ordnede par: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Alle 36 er lige sandsynlige. Sandsynligheden for en sum er antallet af par, der giver den, delt med 36: 1/36 for 2, 2/36 for 3, op til 6/36 for 7 og ned igen til 1/36 for 12. Tre terninger har 6³ = 216 udfald, og 10 og 11 kan hver fås på 27 måder.

Gerolamo Cardano talte allerede sådan i 1500-tallet. Senere forklarede Galileo italienske spillere, hvorfor 10 kommer oftere end 9 med tre terninger, selv om begge kan skrives som en sum af tre sider på seks måder: 10 har 27 ordnede udfald og 9 kun 25.

Forventet og observeret

Det forventede antal af et resultat efter N kast er N gange dets sandsynlighed. Efter 1.000 kast med to terninger forventes 7 at komme 1.000 × 6/36 ≈ 167 gange og 2 omkring 28 gange. De observerede antal spreder sig omkring disse tal. For et resultat med sandsynligheden p og forventet antal E = Np er den typiske spredning √(E(1 − p)), så 167 ± 12 og 28 ± 5 er helt almindelige resultater. I appen er de stiplede omrids de forventede antal og de udfyldte søjler de observerede.

Store tals lov og klokkekurven

Jo mere du slår, jo tættere kommer hver andel på sin sandsynlighed: store tals lov. De absolutte afvigelser vokser, men langsommere end antallet af kast, så i procent passer søjlerne stadig bedre med omridsene. Tilføj flere terninger, og fordelingen af summen bliver en klokkekurve. Med fem terninger følger de 26 mulige summer allerede en normalfordelingskurve tæt: den centrale grænseværdisætning i aktion.

Test en terning: chi-i-anden-testen

Karl Pearsons chi-i-anden-test fra 1900 måler, hvor langt de observerede antal O ligger fra de forventede antal E:

χ² = Σ (O − E)² / E

For fair terninger følger denne sum tilnærmelsesvis en chi-i-anden-fordeling, hvis antal frihedsgrader er én mindre end antallet af søjler: 5 for én terning, 10 for summerne af to terninger. p-værdien er chancen for en χ² mindst lige så stor, hvis terningerne er fair. Et stort p betyder, at antallene passer; et p under 0,05 er en advarsel, selv om én ud af tyve serier med fair terninger også havner der. Testen kræver forventede antal, der ikke er for små, og derfor venter appen på nok kast.

Udforsk det i PictorX

Åbn Terningkast, så triller en terning allerede, 100 gange i sekundet, op til 1.000 kast. Vælg op til fem terninger, antallet af kast og farten. Antal kast viser antal; Procent af kastene viser andele, så det er let at sammenligne serier af forskellig længde. Den falske terning viser sin sekser dobbelt så tit som hver af de andre sider: se dens søjle vokse op over det stiplede omrids og chi-i-anden-testen afsløre den. Slowmotion lader hvert kast trille; klik på terningerne eller tryk på Enter for selv at slå én gang. Gem et PNG af diagrammet, eller sammenlign med Galtonbrættet, hvor mange små tilfældige skridt også lægges sammen til en klokkekurve.