Xác suất xúc xắc

Các mặt đồng khả năng

Một xúc xắc cân đối là một khối lập phương có khả năng rơi trên mỗi mặt trong sáu mặt như nhau, nên mỗi mặt có xác suất 1/6. Trên xúc xắc tiêu chuẩn, hai mặt đối diện cộng lại bằng 7. Điều đó không thay đổi cơ hội; nó chỉ giúp dễ phát hiện một xúc xắc in sai hơn.

Đếm số cách

Với hai xúc xắc, hãy viết các kết quả thành cặp có thứ tự: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Cả 36 kết quả đều đồng khả năng. Xác suất của một tổng bằng số cặp cho ra tổng đó chia cho 36: 1/36 cho 2, 2/36 cho 3, tăng dần đến 6/36 cho 7 rồi giảm lại còn 1/36 cho 12. Ba xúc xắc có 6³ = 216 kết quả, và 10 và 11 mỗi số có thể tạo thành theo 27 cách.

Gerolamo Cardano đã đếm như vậy từ thế kỷ 16. Về sau, Galileo giải thích cho những người chơi cờ bạc Ý vì sao với ba xúc xắc thì 10 ra nhiều hơn 9, dù cả hai đều có thể viết thành tổng của ba mặt theo sáu cách: 10 có 27 kết quả có thứ tự, còn 9 chỉ có 25.

Kỳ vọng và quan sát

Số lần kỳ vọng của một kết quả sau N lần gieo bằng N nhân với xác suất của nó. Sau 1.000 lần gieo hai xúc xắc, 7 được kỳ vọng ra 1.000 × 6/36 ≈ 167 lần và 2 khoảng 28 lần. Số lần quan sát được dao động quanh các con số này. Với một kết quả có xác suất p và số lần kỳ vọng E = Np, độ phân tán điển hình là √(E(1 − p)), nên 167 ± 12 và 28 ± 5 là những kết quả bình thường. Trong ứng dụng, các đường viền nét đứt là số lần kỳ vọng, còn các cột tô đầy là số lần quan sát.

Luật số lớn và đường cong hình chuông

Càng gieo nhiều, mỗi tỉ lệ càng gần xác suất của nó: đó là luật số lớn. Độ lệch tuyệt đối tăng lên nhưng chậm hơn số lần gieo, nên tính theo phần trăm thì các cột ngày càng khớp với đường viền. Thêm xúc xắc thì phân phối của tổng trở thành đường cong hình chuông. Với năm xúc xắc, 26 tổng có thể có đã bám sát một đường cong chuẩn: định lý giới hạn trung tâm đang phát huy tác dụng.

Kiểm tra một xúc xắc: kiểm định khi bình phương

Kiểm định khi bình phương của Karl Pearson, ra đời năm 1900, đo xem số lần quan sát O cách số lần kỳ vọng E bao xa:

χ² = Σ (O − E)² / E

Với xúc xắc cân đối, tổng này xấp xỉ tuân theo phân phối khi bình phương có số bậc tự do ít hơn số cột một đơn vị: 5 với một xúc xắc, 10 với tổng của hai xúc xắc. Giá trị p là xác suất có một χ² ít nhất lớn bằng thế nếu xúc xắc cân đối. p lớn nghĩa là các số lần khớp; p dưới 0,05 là một lời cảnh báo, dù cứ hai mươi lượt với xúc xắc cân đối thì cũng có một lượt rơi vào đó. Kiểm định cần số lần kỳ vọng không quá nhỏ, vì vậy ứng dụng chờ đến khi đủ số lần gieo.

Khám phá trong PictorX

Mở Gieo xúc xắc và một xúc xắc đã lăn sẵn, 100 lần mỗi giây, cho đến 1.000 lần gieo. Chọn tối đa năm xúc xắc, số lần gieo và tốc độ. Số lần hiển thị số đếm; Phần trăm hiển thị tỉ lệ, giúp dễ so sánh các lượt gieo dài ngắn khác nhau. Xúc xắc bịp ra mặt sáu nhiều gấp đôi mỗi mặt khác: hãy xem cột của nó vượt khỏi đường viền nét đứt và kiểm định khi bình phương phát hiện ra nó. Chuyển động chậm cho thấy từng lần gieo lăn ra sao; nhấp vào xúc xắc hoặc nhấn Enter để tự gieo một lần. Lưu biểu đồ thành PNG, hoặc so sánh với bảng Galton, nơi nhiều bước ngẫu nhiên nhỏ cũng cộng lại thành một đường cong hình chuông.