Zar olasılığı

Eşit olasılıklı yüzler

Hilesiz bir zar, altı yüzünün her birine aynı olasılıkla düşen bir küptür; yani her yüzün olasılığı 1/6’dır. Standart bir zarda karşılıklı yüzlerin toplamı 7’dir. Bu, şansları değiştirmez; yalnızca yanlış basılmış bir zarı fark etmeyi kolaylaştırır.

Yolları saymak

İki zarla sonuçları sıralı ikililer olarak yazın: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). 36 sonucun hepsi eşit olasılıklıdır. Bir toplamın olasılığı, onu veren ikililerin sayısının 36’ya bölümüdür: 2 için 1/36, 3 için 2/36; 7 için 6/36’ya kadar çıkar ve 12 için yeniden 1/36’ya iner. Üç zarın 6³ = 216 sonucu vardır ve 10 ile 11’in her biri 27 yolla elde edilebilir.

Gerolamo Cardano 16. yüzyılda böyle sayıyordu. Daha sonra Galileo, İtalyan kumarbazlara üç zarla neden 10’un 9’dan daha sık geldiğini açıkladı; oysa ikisi de üç yüzün toplamı olarak altı biçimde yazılabilir: 10’un 27 sıralı sonucu vardır, 9’un ise yalnızca 25.

Beklenen ve gözlenen

N atıştan sonra bir sonucun beklenen sayısı, N ile olasılığının çarpımıdır. İki zarla 1.000 atıştan sonra 7’nin 1.000 × 6/36 ≈ 167 kez, 2’nin ise yaklaşık 28 kez gelmesi beklenir. Gözlenen sayılar bu değerlerin çevresine dağılır. Olasılığı p ve beklenen sayısı E = Np olan bir sonuç için tipik yayılım √(E(1 − p)) olur; yani 167 ± 12 ve 28 ± 5 sıradan sonuçlardır. Uygulamada kesikli çerçeveler beklenen sayıları, dolu çubuklar ise gözlenenleri gösterir.

Büyük sayılar yasası ve çan eğrisi

Ne kadar çok atarsanız her pay olasılığına o kadar yaklaşır: büyük sayılar yasası. Mutlak sapmalar büyür, ama atış sayısından daha yavaş; bu yüzden yüzde olarak çubuklar çerçevelerle giderek daha iyi örtüşür. Daha fazla zar ekleyin; toplamın dağılımı bir çan eğrisine dönüşür. Beş zarla 26 olası toplam şimdiden normal eğriyi yakından izler: merkezi limit teoremi iş başında.

Bir zarı sınamak: ki-kare testi

Karl Pearson’ın 1900 tarihli ki-kare testi, gözlenen sayıların (O) beklenen sayılardan (E) ne kadar uzak olduğunu ölçer:

χ² = Σ (O − E)² / E

Hilesiz zarlarda bu toplam yaklaşık olarak, serbestlik derecesi çubuk sayısının bir eksiği olan bir ki-kare dağılımına uyar: tek zar için 5, iki zarın toplamları için 10. p değeri, zarlar hilesizse en az bu kadar büyük bir χ² elde etme olasılığıdır. Büyük bir p, sayıların uyduğu anlamına gelir; 0,05’in altındaki bir p bir uyarıdır, ama hilesiz zarlarla yapılan her yirmi denemeden biri de oraya ulaşır. Test, beklenen sayıların çok küçük olmamasını gerektirir; bu yüzden uygulama yeterince atış yapılmasını bekler.

PictorX’te keşfedin

Zar atma uygulamasını açın; bir zar şimdiden yuvarlanıyor, saniyede 100 kez, 1.000 atışa kadar. Beş zara kadar zar, atış sayısını ve hızı seçin. Atış sayısı adetleri, Atışların yüzdesi payları gösterir; böylece farklı uzunluktaki denemeleri karşılaştırmak kolaylaşır. Hileli zar, altıyı diğer her yüzden iki kat sık gösterir: çubuğunun kesikli çerçeveden taşmasını ve ki-kare testinin onu yakalamasını izleyin. Ağır çekim her atışın yuvarlanmasını gösterir; kendiniz bir kez atmak için zarlara tıklayın ya da Enter’a basın. Grafiğin PNG’sini kaydedin ya da birçok küçük rastgele adımın yine bir çan eğrisi oluşturduğu Galton tahtasıyla karşılaştırın.