偏爱过去的跳跃
贝尔纳多·雷卡曼·桑托斯定义了这个数列，尼尔·斯隆将它收录为 OEIS A005132。它从 a₀ = 0 开始。对之后的每一步 n，先看 aₙ₋₁ − n。如果这个整数为正且尚未出现，它就是 aₙ；否则 aₙ = aₙ₋₁ + n。 0 已经是起始项，所以向后跳永远不会落在 0 上。OEIS 现在把条件表述为“非负且未使用”。这是同一条规则：0 已被使用，所以向后的值仍必须是一个新的正整数。
前十五项
数列的开头是 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24。 第 1 步无法减：0 − 1 = −1，所以它加上 1，落在 1。第 2 步同样如此，落在 3。第 3 步会回到已被使用的 0，所以落在 6。第 4 步是第一次向后跳：6 − 4 = 2，而 2 是空闲的。随后向前的跳跃经过 7、13 和 20，数列才找到 12。
看起来应该是 6 的那一步
在第 7 步，前一项是 13。相减得到 13 − 7 = 6。6 是正数，但它已经是 a₃，所以规则拒绝它，改为相加：13 + 7 = 20。每当后面的位置已被占用，都会这样。第 6 步拒绝 1，第 9 步拒绝 3，第 11 步拒绝 0。 这十五步之后，已出现的正整数是 1、2、3、6、7、9、10、11、12、13 以及 20 到 24。这一前段中最小的缺失数是 4。4 本身要到第 131 步才出现。
数轴上的半圆
用直径等于跳跃长度 n 的半圆连接 aₙ₋₁ 和 aₙ。奇数步的弧在数轴上方，偶数步在下方。用青绿色画的向后跳钻进空缺，用琥珀色画的向前跳到达新的高点。这堆弧线就是 Edmund Harriss 和 Numberphile 推广的图像：一个形似贝壳的截面，由一条贪心规则构成。
听见跳跃
同样的数值可以当作音符演奏。在应用中，“声音”把每个新项映射到自然小调音阶：向后跳是正弦音，向前跳是更柔和的三角波。旋律难以预测，因为数列不断落入未使用的整数，然后又向前跃出。打开“声音”，选择收藏项“旋律”来播放，或在弧线生长时勾选“声音”。
一个悬而未决的问题与 852,655
尼尔·斯隆猜想每个非负整数最终都会出现。这一点至今未被证明。早期的空缺会被填上：4 在前十五项中缺失，随后在第 131 步出现。一直坚持缺席的小数是 852,655。Allan Wilks 早在计算到 10^15 项时就发现它缺失。本杰明·查芬不断扩展计算，并在 2026 年 2 月报告：计算到 10^612 项后，852,655 仍是最小的缺失数。
在 PictorX 中探索
打开雷卡曼数列，让半圆生长，阅读前十五项的步骤表，或切换到“缺失的数”，观察前段中的最小空缺。拖动可移动弧线，滚动可缩放，双击可重新适配。保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。斐波那契数列和考拉兹猜想是另外两幅由简短规则画出的图。
常见问题
什么是雷卡曼数列？
满足 a₀ = 0 的数列；当 n > 0 时，若 aₙ₋₁ − n 为正且是新数，则 aₙ = aₙ₋₁ − n，否则 aₙ = aₙ₋₁ + n。它是 OEIS A005132。前几项是 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24。
为什么第 7 步落在 20 而不是 6？
13 − 7 = 6，而 6 已经在数列中，所以向后跳被拒绝。这一步改为加上 7，落在 20。
半圆代表什么？
每个半圆连接 aₙ₋₁ 和 aₙ，直径为 n。奇数步在数轴上方，偶数步在下方。青绿色弧向后跳到空闲整数，琥珀色弧向前跳。
每个正整数都会出现吗？
没有人知道。斯隆猜想每个非负整数最终都会出现。根据本杰明·查芬的计算并于 2026 年 2 月报告的结果，计算到 10^612 项后，852,655 仍是最小的缺失数。
图形会离开我的设备吗？
不会。数列、弧线、空缺扫描和旋律都在你的浏览器中计算。可以保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。
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