Последовательность Рекамана
Последовательность Рекамана начинается с 0 и всегда пытается шагнуть назад. Вперёд она шагает, только если место позади было бы отрицательным или уже есть в последовательности. Те же числа, нарисованные чередующимися полуокружностями, образуют спираль.
Прыжок, который предпочитает прошлое
Бернардо Рекаман Сантос определил эту последовательность, а Нил Слоан внёс её в каталог как OEIS A005132. Она начинается с a₀ = 0. На каждом следующем шаге n смотрим на aₙ₋₁ − n. Если это целое число положительно и ещё не встречалось, оно и есть aₙ. Иначе aₙ = aₙ₋₁ + n. Ноль уже является начальным членом, поэтому прыжок назад никогда на него не попадает. Сейчас OEIS формулирует проверку как неотрицательное и неиспользованное. Это то же правило: 0 уже использован, поэтому значение назад всё равно должно быть новым положительным целым числом.
Первые пятнадцать членов
Последовательность начинается так: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Шаг 1 не может вычесть: 0 − 1 = −1, поэтому он прибавляет и попадает на 1. Шаг 2 делает то же и попадает на 3. Шаг 3 вернулся бы к 0, который уже использован, поэтому попадает на 6. Шаг 4 - первый прыжок назад: 6 − 4 = 2, и 2 свободно. Затем прыжки вперёд проходят через 7, 13 и 20, прежде чем последовательность находит 12.
Шаг, который будто должен дать 6
На шаге 7 предыдущий член равен 13. Вычитание даёт 13 − 7 = 6. Шесть положительно, но это уже a₃, поэтому правило его отвергает и прибавляет: 13 + 7 = 20. То же происходит всякий раз, когда место позади занято. Шаг 6 отвергает 1, шаг 9 отвергает 3, а шаг 11 отвергает 0. После этих пятнадцати шагов появились положительные целые числа 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 и с 20 по 24. Наименьшее пропущенное число в этом начале - 4. Сама четвёрка появляется только на шаге 131.
Полуокружности на числовой прямой
Соедините aₙ₋₁ с aₙ полуокружностью, диаметр которой равен длине прыжка n. Нечётные шаги изгибаются над прямой, чётные - под ней. Прыжки назад, нарисованные бирюзовым, заполняют пробелы. Прыжки вперёд, нарисованные янтарным, достигают нового максимума. Стопка дуг - это картинка, которую прославили Эдмунд Харрис и Numberphile: срез, похожий на раковину, построенный из одного жадного правила.
Услышать прыжки
Те же значения можно сыграть как ноты. В приложении Звук сопоставляет каждый новый член натуральному минору: прыжок назад звучит синусоидой, прыжок вперёд - более мягкой треугольной волной. Мелодия непредсказуема, потому что последовательность снова и снова падает в неиспользованные числа и снова рвётся вперёд. Включите Звук и запустите воспроизведение, выбрав избранное Мелодия, или отметьте Звук, пока растут дуги.
Открытый вопрос и 852 655
Нил Слоан предположил, что каждое неотрицательное целое число рано или поздно появляется. Это до сих пор не доказано. Ранние пробелы заполняются: 4 нет среди первых пятнадцати членов, а затем оно появляется на шаге 131. Небольшое число, которое держится, - 852 655. Аллан Уилкс обнаружил его отсутствие уже после 10^15 членов. Бенджамин Чаффин продолжал расширять расчёт и в феврале 2026 года сообщил, что после 10^612 членов наименьшим пропущенным числом по-прежнему остаётся 852 655.
Исследуйте в PictorX
Откройте последовательность Рекамана, чтобы выращивать полуокружности, читать таблицу шагов для первых пятнадцати членов или переключиться на Пропущенные числа и следить за наименьшим пробелом в начале последовательности. Перетаскивайте, чтобы двигать дуги, прокручивайте для масштаба и дважды щёлкните, чтобы снова вписать их. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX. Последовательность Фибоначчи и гипотеза Коллатца - ещё две картины, рождённые коротким правилом.
Часто задаваемые вопросы
Что такое последовательность Рекамана?
Последовательность с a₀ = 0, в которой при n > 0 aₙ = aₙ₋₁ − n, если это значение положительно и новое, иначе aₙ = aₙ₋₁ + n. Это OEIS A005132. Первые члены: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Почему шаг 7 попадает на 20, а не на 6?
13 − 7 = 6, а 6 уже есть в последовательности, поэтому прыжок назад запрещён. Шаг вместо этого прибавляет 7 и попадает на 20.
Что означают полуокружности?
Каждая полуокружность соединяет aₙ₋₁ с aₙ и имеет диаметр n. Нечётные шаги идут над числовой прямой, чётные - под ней. Бирюзовые дуги прыгнули назад на свободное число. Янтарные дуги прыгнули вперёд.
Появляется ли каждое положительное целое число?
Никто не знает. Слоан предположил, что каждое неотрицательное целое число рано или поздно появляется. После 10^612 членов, вычисленных Бенджамином Чаффином и опубликованных в феврале 2026 года, наименьшим пропущенным числом по-прежнему остаётся 852 655.
Покидает ли рисунок моё устройство?
Нет. Последовательность, дуги, поиск пробелов и мелодия вычисляются в вашем браузере. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Последовательность Рекамана
Начните с 0. Каждый шаг прыгает на n назад, если это место положительно и ещё не занято, а иначе вперёд. Смотрите на полуокружности, пропущенные числа и мелодию из тех же прыжков.
Последовательность Фибоначчи
Каждое число Фибоначчи — сумма двух предыдущих. Смотрите, как квадраты складываются в спираль, отношения стремятся к золотому сечению, а формула Бине восстанавливает те же числа.
Последовательность Фибоначчи
Почему соседние числа Фибоначчи стремятся к золотому сечению, как этот предел следует из рекуррентности и как формула Бине восстанавливает каждый член из φ.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
Спираль Улама
Постройте спираль Улама в браузере. Отметьте простые числа, прочитайте квадратичный многочлен каждой диагонали и откройте непрерывную серию из 40 простых чисел Эйлера.
Спираль Улама
Как спираль Станислава Улама 1963 года раскладывает целые числа на квадратной сетке, почему простые числа собираются на квадратичных диагоналях и где лежат сорок простых чисел Эйлера, если спираль начинается с 41.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Попробовать последовательность Рекамана