Về dãy Recamán | Nửa đường tròn, khoảng trống & OEIS A005132

Bước nhảy ưa quá khứ

Bernardo Recamán Santos đã định nghĩa dãy này, và Neil Sloane đưa nó vào danh mục với mã OEIS A005132. Dãy bắt đầu với a₀ = 0. Với mỗi bước n tiếp theo, xét aₙ₋₁ − n. Nếu số nguyên đó dương và chưa xuất hiện, nó là aₙ. Ngược lại, aₙ = aₙ₋₁ + n. Số 0 đã là số hạng đầu, nên bước nhảy lùi không bao giờ rơi vào đó. OEIS hiện diễn đạt điều kiện là không âm và chưa dùng. Đó là cùng một quy tắc: 0 đã được dùng, nên giá trị lùi vẫn phải là một số nguyên dương mới.

Mười lăm số hạng đầu

Dãy bắt đầu 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Bước 1 không thể trừ: 0 − 1 = −1, nên nó cộng và rơi vào 1. Bước 2 làm tương tự và rơi vào 3. Bước 3 sẽ quay về 0, vốn đã được dùng, nên nó rơi vào 6. Bước 4 là bước nhảy lùi đầu tiên: 6 − 4 = 2, và 2 còn trống. Sau đó các bước nhảy tới đi qua 7, 13 và 20 trước khi dãy tìm thấy 12.

Bước tưởng như phải là 6

Ở bước 7, số hạng trước là 13. Phép trừ cho 13 − 7 = 6. Sáu là số dương nhưng đã là a₃, nên quy tắc từ chối nó và cộng thay vào đó: 13 + 7 = 20. Điều tương tự xảy ra mỗi khi vị trí phía sau đã bị chiếm. Bước 6 từ chối 1, bước 9 từ chối 3, và bước 11 từ chối 0. Sau mười lăm bước đó, các số nguyên dương đã xuất hiện là 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 và từ 20 đến 24. Số nhỏ nhất còn thiếu trong phần đầu này là 4. Bản thân số 4 chỉ xuất hiện ở bước 131.

Nửa đường tròn trên trục số

Nối aₙ₋₁ và aₙ bằng một nửa đường tròn có đường kính bằng độ dài bước nhảy n. Bước lẻ cong phía trên trục, bước chẵn cong phía dưới. Các bước nhảy lùi, vẽ màu xanh mòng két, lấp vào khoảng trống. Các bước nhảy tới, vẽ màu hổ phách, đạt tới đỉnh mới. Chồng cung này là hình ảnh được Edmund Harriss và Numberphile phổ biến: một lát cắt giống vỏ ốc được dựng từ một quy tắc tham lam duy nhất.

Nghe các bước nhảy

Các giá trị đó có thể được chơi như nốt nhạc. Trong ứng dụng, Âm thanh ánh xạ mỗi số hạng mới vào âm giai thứ tự nhiên: bước nhảy lùi là âm sin, bước nhảy tới là sóng tam giác dịu hơn. Giai điệu khó đoán vì dãy liên tục rơi vào các số nguyên chưa dùng rồi lại vọt tới. Bật Âm thanh và phát bằng cách chọn mục yêu thích Giai điệu, hoặc đánh dấu Âm thanh trong khi các cung lớn dần.

Một câu hỏi mở và 852.655

Neil Sloane phỏng đoán rằng mọi số nguyên không âm cuối cùng đều xuất hiện. Điều đó vẫn chưa được chứng minh. Các khoảng trống ban đầu được lấp đầy: 4 vắng mặt trong mười lăm số hạng đầu, rồi xuất hiện ở bước 131. Số nhỏ cứng đầu là 852.655. Allan Wilks phát hiện nó vẫn thiếu sau 10^15 số hạng. Benjamin Chaffin tiếp tục mở rộng phép tính và báo cáo vào tháng 2 năm 2026 rằng sau 10^612 số hạng, 852.655 vẫn là số nhỏ nhất còn thiếu.

Khám phá trong PictorX

Mở dãy Recamán để vẽ các nửa đường tròn, đọc bảng bước cho mười lăm số hạng đầu, hoặc chuyển sang Số còn thiếu và theo dõi khoảng trống nhỏ nhất ở phần đầu. Kéo để di chuyển các cung, cuộn để thu phóng và nhấp đúp để khớp lại. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Dãy Fibonacci và giả thuyết Collatz là hai bức tranh khác được vẽ từ một quy tắc ngắn.

Hỏi thường xuyên

Dãy Recamán là gì?

Dãy có a₀ = 0 và, với n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n nếu giá trị đó dương và mới, ngược lại aₙ = aₙ₋₁ + n. Đây là OEIS A005132. Các số hạng đầu là 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.

Vì sao bước 7 rơi vào 20 thay vì 6?

13 − 7 = 6 và 6 đã có trong dãy, nên bước nhảy lùi bị từ chối. Thay vào đó, bước này cộng 7 và rơi vào 20.

Các nửa đường tròn có ý nghĩa gì?

Mỗi nửa đường tròn nối aₙ₋₁ với aₙ và có đường kính n. Bước lẻ đi phía trên trục số, bước chẵn đi phía dưới. Cung xanh mòng két nhảy lùi tới một số nguyên còn trống. Cung hổ phách nhảy tới.

Mọi số nguyên dương đều xuất hiện chứ?

Không ai biết. Sloane phỏng đoán rằng mọi số nguyên không âm cuối cùng đều xuất hiện. Sau 10^612 số hạng, do Benjamin Chaffin tính và báo cáo vào tháng 2 năm 2026, 852.655 vẫn là số nhỏ nhất còn thiếu.

Hình vẽ có rời khỏi thiết bị của tôi không?

Không. Dãy số, các cung, việc quét khoảng trống và giai điệu được tính trong trình duyệt của bạn. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX.