Ciąg Recamána
Ciąg Recamána zaczyna się od 0 i zawsze próbuje się cofnąć. Idzie do przodu tylko wtedy, gdy miejsce wstecz byłoby ujemne albo już jest w ciągu. Te same liczby, narysowane jako naprzemienne półokręgi, tworzą spiralę.
Skok, który woli przeszłość
Bernardo Recamán Santos zdefiniował ten ciąg, a Neil Sloane skatalogował go jako OEIS A005132. Zaczyna się od a₀ = 0. Dla każdego kolejnego kroku n patrzymy na aₙ₋₁ − n. Jeśli ta liczba całkowita jest dodatnia i jeszcze się nie pojawiła, jest to aₙ. W przeciwnym razie aₙ = aₙ₋₁ + n. Zero jest już wyrazem początkowym, więc skok wstecz nigdy na nim nie ląduje. OEIS formułuje dziś test jako nieujemny i nieużyty. To ta sama reguła: 0 jest użyte, więc wartość wstecz nadal musi być dodatnią, nową liczbą całkowitą.
Pierwsze piętnaście wyrazów
Ciąg zaczyna się od 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Krok 1 nie może odjąć: 0 − 1 = −1, więc dodaje i trafia na 1. Krok 2 robi to samo i trafia na 3. Krok 3 wróciłby do 0, które jest już użyte, więc trafia na 6. Krok 4 to pierwszy skok wstecz: 6 − 4 = 2, a 2 jest wolne. Skoki do przodu prowadzą potem przez 7, 13 i 20, zanim ciąg znajdzie 12.
Krok, który wygląda na 6
W kroku 7 poprzedni wyraz to 13. Odejmowanie daje 13 − 7 = 6. Sześć jest dodatnie, ale to już a₃, więc reguła je odrzuca i dodaje: 13 + 7 = 20. To samo dzieje się zawsze, gdy miejsce wstecz jest zajęte. Krok 6 odrzuca 1, krok 9 odrzuca 3, a krok 11 odrzuca 0. Po tych piętnastu krokach pojawiły się dodatnie liczby całkowite 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 oraz od 20 do 24. Najmniejsza brakująca liczba w tym początku to 4. Sama czwórka pojawia się dopiero w kroku 131.
Półokręgi na osi liczbowej
Połącz aₙ₋₁ z aₙ półokręgiem o średnicy równej długości skoku n. Kroki nieparzyste wyginają się nad osią, a parzyste pod nią. Skoki wstecz, rysowane turkusem, wsuwają się w luki. Skoki do przodu, rysowane bursztynem, sięgają nowego maksimum. Stos łuków to obraz spopularyzowany przez Edmunda Harrissa i Numberphile: przekrój przypominający muszlę, zbudowany z jednej zachłannej reguły.
Usłyszeć skoki
Te same wartości można zagrać jako nuty. W aplikacji Dźwięk przypisuje każdy nowy wyraz do naturalnej skali molowej: skok wstecz to ton sinusoidalny, a skok do przodu łagodniejsza fala trójkątna. Melodia jest nieprzewidywalna, bo ciąg wciąż wpada w nieużyte liczby, a potem znów skacze do przodu. Włącz Dźwięk i odtwórz, wybierając ulubione ustawienie Melodia, albo zaznacz Dźwięk, gdy łuki rosną.
Otwarte pytanie i 852 655
Neil Sloane postawił hipotezę, że każda nieujemna liczba całkowita w końcu się pojawia. Nadal nie zostało to udowodnione. Wczesne luki się zapełniają: 4 brakuje w pierwszych piętnastu wyrazach, a potem pojawia się w kroku 131. Mała liczba, która się opiera, to 852 655. Allan Wilks stwierdził jej brak już po 10^15 wyrazach. Benjamin Chaffin rozszerzał obliczenia i w lutym 2026 podał, że po 10^612 wyrazach 852 655 nadal jest najmniejszą brakującą liczbą.
Odkrywaj w PictorX
Otwórz ciąg Recamána, aby rozwijać półokręgi, czytać tabelę kroków dla pierwszych piętnastu wyrazów lub przełączyć się na Brakujące liczby i śledzić najmniejszą lukę w początku ciągu. Przeciągaj, aby przesuwać łuki, przewijaj, aby powiększać, i kliknij dwukrotnie, aby znów je dopasować. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX. Ciąg Fibonacciego i hipoteza Collatza to dwa inne obrazy powstałe z krótkiej reguły.
Często zadawane pytania
Czym jest ciąg Recamána?
Ciąg, w którym a₀ = 0, a dla n > 0 aₙ = aₙ₋₁ − n, gdy ta wartość jest dodatnia i nowa, w przeciwnym razie aₙ = aₙ₋₁ + n. To OEIS A005132. Pierwsze wyrazy to 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Dlaczego krok 7 trafia na 20, a nie na 6?
13 − 7 = 6, a 6 już jest w ciągu, więc skok wstecz zostaje odrzucony. Krok zamiast tego dodaje 7 i trafia na 20.
Co oznaczają półokręgi?
Każdy półokrąg łączy aₙ₋₁ z aₙ i ma średnicę n. Kroki nieparzyste biegną nad osią liczbową, a parzyste pod nią. Turkusowe łuki cofnęły się na wolną liczbę. Bursztynowe łuki skoczyły do przodu.
Czy pojawia się każda dodatnia liczba całkowita?
Nikt tego nie wie. Sloane postawił hipotezę, że każda nieujemna liczba całkowita w końcu się pojawia. Po 10^612 wyrazach, policzonych przez Benjamina Chaffina i podanych w lutym 2026, 852 655 nadal jest najmniejszą brakującą liczbą.
Czy rysunek opuszcza moje urządzenie?
Nie. Ciąg, łuki, szukanie luk i melodia są liczone w przeglądarce. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Ciąg Recamána
Zacznij od 0. Każdy krok cofa się o n, gdy to miejsce jest dodatnie i nowe, a w przeciwnym razie skacze do przodu. Zobacz półokręgi, brakujące liczby i melodię z tych samych skoków.
Ciąg Fibonacciego
Każda liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich. Zobacz, jak kwadraty układają się w spiralę, ilorazy zbiegają do złotej proporcji, a wzór Bineta odtwarza te same liczby.
Ciąg Fibonacciego
Dlaczego kolejne liczby Fibonacciego zbliżają się do złotej proporcji, jak ta granica wynika z rekurencji i jak wzór Bineta odtwarza każdy wyraz z φ.
Hipoteza Collatza
Poznaj problem Collatza 3n+1 w przeglądarce. Śledź ciągi gradowe, wyhoduj geometryczne drzewo Collatza i przybliżaj ciągły fraktal Collatza.
Spirala Ulama
Narysuj spiralę Ulama w przeglądarce. Zaznacz liczby pierwsze, odczytaj wielomian kwadratowy każdej przekątnej i otwórz nieprzerwany ciąg 40 liczb pierwszych Eulera.
Spirala Ulama
Jak spirala Stanisława Ulama z 1963 roku układa liczby całkowite na kwadratowej siatce, dlaczego liczby pierwsze gromadzą się na kwadratowych przekątnych i gdzie leży czterdzieści liczb pierwszych Eulera, gdy spirala zaczyna się od 41.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Wypróbuj ciąg Recamána