Recamán-Folge
Die Recamán-Folge beginnt bei 0 und versucht immer, zurückzugehen. Nach vorn geht sie nur, wenn die Stelle dahinter negativ wäre oder schon in der Folge steht. Dieselben Zahlen, als abwechselnde Halbkreise gezeichnet, ergeben die Spirale.
Ein Sprung, der die Vergangenheit bevorzugt
Bernardo Recamán Santos definierte die Folge, und Neil Sloane nahm sie als OEIS A005132 auf. Sie beginnt bei a₀ = 0. Für jeden späteren Schritt n betrachtet man aₙ₋₁ − n. Ist diese ganze Zahl positiv und kam sie noch nicht vor, so ist sie aₙ. Sonst ist aₙ = aₙ₋₁ + n. Null ist bereits das Startglied, daher landet ein Rücksprung nie darauf. OEIS formuliert den Test heute als nichtnegativ und unbenutzt. Das ist dieselbe Regel: 0 ist benutzt, also muss der Rückwärtswert weiterhin eine positive, neue ganze Zahl sein.
Die ersten fünfzehn Glieder
Die Folge beginnt mit 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Schritt 1 kann nicht abziehen: 0 − 1 = −1, also addiert er und landet auf 1. Schritt 2 macht dasselbe und landet auf 3. Schritt 3 käme zurück auf 0, das schon benutzt ist, also landet er auf 6. Schritt 4 ist der erste Rücksprung: 6 − 4 = 2, und 2 ist frei. Die Vorwärtssprünge führen dann über 7, 13 und 20, bevor die Folge 12 findet.
Der Schritt, der nach 6 aussieht
Bei Schritt 7 ist das vorige Glied 13. Abziehen ergibt 13 − 7 = 6. Sechs ist positiv, aber bereits a₃, also lehnt die Regel sie ab und addiert stattdessen: 13 + 7 = 20. Dasselbe geschieht immer, wenn die Stelle dahinter belegt ist. Schritt 6 lehnt 1 ab, Schritt 9 lehnt 3 ab und Schritt 11 lehnt 0 ab. Nach diesen fünfzehn Schritten sind die positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 und 20 bis 24 erschienen. Die kleinste fehlende Zahl in diesem Anfangsstück ist 4. Die Vier selbst erscheint erst bei Schritt 131.
Halbkreise auf dem Zahlenstrahl
Verbinden Sie aₙ₋₁ mit aₙ durch einen Halbkreis, dessen Durchmesser die Sprunglänge n ist. Ungerade Schritte wölben sich über den Strahl, gerade darunter. Rücksprünge, in Türkis gezeichnet, schmiegen sich in Lücken. Vorwärtssprünge, in Bernstein gezeichnet, erreichen ein neues Maximum. Der Stapel von Bögen ist das Bild, das Edmund Harriss und Numberphile bekannt gemacht haben: ein Querschnitt, der wie eine Muschel aussieht, gebaut aus einer einzigen gierigen Regel.
Die Sprünge hören
Dieselben Werte lassen sich als Töne spielen. In der App bildet Ton jedes neue Glied auf eine natürliche Molltonleiter ab: Ein Rücksprung ist ein Sinuston, ein Vorwärtssprung ein weicherer Dreieckston. Die Melodie ist unvorhersehbar, weil die Folge immer wieder in unbenutzte Zahlen fällt und dann wieder nach vorn springt. Schalten Sie Ton ein und starten Sie die Wiedergabe mit dem Favoriten Melodie, oder setzen Sie das Häkchen bei Ton, während die Bögen wachsen.
Eine offene Frage und 852.655
Neil Sloane vermutete, dass jede nichtnegative ganze Zahl irgendwann vorkommt. Bewiesen ist das noch nicht. Die frühen Lücken füllen sich: 4 fehlt in den ersten fünfzehn Gliedern und erscheint dann bei Schritt 131. Die kleine Zahl, die sich hält, ist 852.655. Allan Wilks fand sie schon nach 10^15 Gliedern fehlend. Benjamin Chaffin erweiterte die Rechnung immer weiter und berichtete im Februar 2026, dass 852.655 nach 10^612 Gliedern noch immer die kleinste fehlende Zahl ist.
In PictorX erkunden
Öffnen Sie die Recamán-Folge, um die Halbkreise wachsen zu lassen, die Schritttabelle der ersten fünfzehn Glieder zu lesen oder zu Fehlende Zahlen zu wechseln und die kleinste Lücke im Anfangsstück zu verfolgen. Ziehen Sie, um die Bögen zu verschieben, scrollen Sie zum Zoomen und doppelklicken Sie, um sie wieder einzupassen. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor. Die Fibonacci-Folge und die Collatz-Vermutung sind zwei weitere Bilder aus einer kurzen Regel.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Recamán-Folge?
Die Folge mit a₀ = 0 und, für n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n, wenn dieser Wert positiv und neu ist, sonst aₙ = aₙ₋₁ + n. Sie ist OEIS A005132. Die ersten Glieder sind 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Warum landet Schritt 7 auf 20 und nicht auf 6?
13 − 7 = 6, und 6 ist schon in der Folge, also wird der Rücksprung abgelehnt. Der Schritt addiert stattdessen 7 und landet auf 20.
Was bedeuten die Halbkreise?
Jeder Halbkreis verbindet aₙ₋₁ mit aₙ und hat den Durchmesser n. Ungerade Schritte liegen über dem Zahlenstrahl, gerade darunter. Türkise Bögen sprangen zurück auf eine freie Zahl. Bernsteinfarbene Bögen sprangen nach vorn.
Kommt jede positive ganze Zahl vor?
Das weiß niemand. Sloane vermutete, dass jede nichtnegative ganze Zahl irgendwann vorkommt. Nach 10^612 Gliedern, berechnet von Benjamin Chaffin und im Februar 2026 gemeldet, ist 852.655 immer noch die kleinste fehlende Zahl.
Verlässt die Zeichnung mein Gerät?
Nein. Folge, Bögen, Lückensuche und Melodie werden in Ihrem Browser berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.
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