Sucesión de Recamán
La sucesión de Recamán empieza en 0 y siempre intenta retroceder. Solo avanza cuando la posición hacia atrás sería negativa o ya está en la sucesión. Los mismos números, dibujados como semicírculos alternos, forman la espiral.
Un salto que prefiere el pasado
Bernardo Recamán Santos definió la sucesión y Neil Sloane la catalogó como OEIS A005132. Empieza en a₀ = 0. Para cada paso posterior n, se mira aₙ₋₁ − n. Si ese entero es positivo y aún no ha aparecido, es aₙ. Si no, aₙ = aₙ₋₁ + n. El cero ya es el término inicial, así que un salto hacia atrás nunca cae en él. Hoy la OEIS formula la prueba como no negativo y no usado. Es la misma regla: el 0 está usado, así que el valor hacia atrás debe seguir siendo un entero positivo nuevo.
Los quince primeros términos
La sucesión empieza por 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. El paso 1 no puede restar: 0 − 1 = −1, así que suma y cae en 1. El paso 2 hace lo mismo y cae en 3. El paso 3 volvería a 0, que ya está usado, así que cae en 6. El paso 4 es el primer salto hacia atrás: 6 − 4 = 2, y el 2 está libre. Los saltos hacia delante siguen después por 7, 13 y 20 antes de que la sucesión encuentre el 12.
El paso que parece que debería dar 6
En el paso 7 el término anterior es 13. Al restar sale 13 − 7 = 6. El seis es positivo, pero ya es a₃, así que la regla lo rechaza y suma: 13 + 7 = 20. Lo mismo ocurre siempre que la posición hacia atrás está ocupada. El paso 6 rechaza el 1, el paso 9 rechaza el 3 y el paso 11 rechaza el 0. Tras estos quince pasos, los enteros positivos que han aparecido son 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 y del 20 al 24. El menor número que falta en ese tramo es 4. El propio 4 no aparece hasta el paso 131.
Semicírculos sobre la recta numérica
Une aₙ₋₁ con aₙ mediante un semicírculo cuyo diámetro es la longitud del salto n. Los pasos impares forman un arco por encima de la recta y los pares por debajo. Los saltos hacia atrás, en turquesa, se meten en los huecos. Los saltos hacia delante, en ámbar, alcanzan un nuevo máximo. El montón de arcos es la imagen que popularizaron Edmund Harriss y Numberphile: un corte que parece una concha, construido con una sola regla voraz.
Escuchar los saltos
Los mismos valores se pueden tocar como notas. En la aplicación, Sonido asigna cada término nuevo a una escala menor natural: un salto hacia atrás es un tono sinusoidal y un salto hacia delante un triángulo más suave. La melodía es impredecible porque la sucesión cae una y otra vez en enteros no usados y luego vuelve a saltar hacia delante. Activa Sonido y reproduce eligiendo el favorito Melodía, o marca Sonido mientras crecen los arcos.
Una pregunta abierta y 852.655
Neil Sloane conjeturó que todo entero no negativo acaba apareciendo. Sigue sin demostrarse. Los primeros huecos se llenan: el 4 falta en los quince primeros términos y aparece en el paso 131. El número pequeño que resiste es 852.655. Allan Wilks ya lo encontró ausente tras 10^15 términos. Benjamin Chaffin siguió ampliando el cálculo y en febrero de 2026 informó de que, tras 10^612 términos, 852.655 sigue siendo el menor número que falta.
Explóralo en PictorX
Abre la sucesión de Recamán para hacer crecer los semicírculos, leer la tabla de pasos de los quince primeros términos o cambiar a Números que faltan y seguir el hueco más pequeño del tramo. Arrastra para mover los arcos, desplázate para hacer zoom y haz doble clic para encajarlos de nuevo. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX. La sucesión de Fibonacci y la conjetura de Collatz son otras dos imágenes surgidas de una regla breve.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la sucesión de Recamán?
La sucesión con a₀ = 0 y, para n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n cuando ese valor es positivo y nuevo; si no, aₙ = aₙ₋₁ + n. Es OEIS A005132. Los primeros términos son 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
¿Por qué el paso 7 cae en 20 y no en 6?
13 − 7 = 6, y 6 ya está en la sucesión, así que el salto hacia atrás se rechaza. El paso suma 7 y cae en 20.
¿Qué significan los semicírculos?
Cada semicírculo une aₙ₋₁ con aₙ y tiene diámetro n. Los pasos impares van por encima de la recta numérica y los pares por debajo. Los arcos turquesa retrocedieron a un entero libre. Los arcos ámbar avanzaron.
¿Aparece todo entero positivo?
Nadie lo sabe. Sloane conjeturó que todo entero no negativo acaba apareciendo. Tras 10^612 términos, calculados por Benjamin Chaffin y comunicados en febrero de 2026, 852.655 sigue siendo el menor número que falta.
¿El dibujo sale de mi dispositivo?
No. La sucesión, los arcos, la búsqueda de huecos y la melodía se calculan en tu navegador. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX.
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