रेकामान अनुक्रम
रेकामान अनुक्रम 0 से शुरू होता है और हमेशा पीछे जाने की कोशिश करता है। यह आगे तभी जाता है जब पीछे का स्थान ऋणात्मक हो या पहले से अनुक्रम में हो। वही संख्याएँ, बारी-बारी वाले अर्धवृत्तों के रूप में बनाई जाएँ तो सर्पिल बनता है।
अतीत को पसंद करने वाली छलाँग
बर्नार्डो रेकामान सांतोस ने यह अनुक्रम परिभाषित किया और नील स्लोन ने इसे OEIS A005132 के रूप में सूचीबद्ध किया। यह a₀ = 0 से शुरू होता है। हर अगले कदम n के लिए aₙ₋₁ − n देखें। यदि वह पूर्णांक धनात्मक है और अभी तक नहीं आया, तो वही aₙ है। अन्यथा aₙ = aₙ₋₁ + n। शून्य पहले से आरंभिक पद है, इसलिए पीछे की छलाँग कभी उस पर नहीं पहुँचती। OEIS अब शर्त को अऋणात्मक और अप्रयुक्त के रूप में लिखता है। यह वही नियम है: 0 उपयोग हो चुका है, इसलिए पीछे का मान फिर भी नया धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
पहले पंद्रह पद
अनुक्रम 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 से शुरू होता है। कदम 1 घटा नहीं सकता: 0 − 1 = −1, इसलिए वह जोड़ता है और 1 पर पहुँचता है। कदम 2 भी ऐसा ही करता है और 3 पर पहुँचता है। कदम 3 पहले से उपयोग हुए 0 पर लौटता, इसलिए वह 6 पर पहुँचता है। कदम 4 पहली पीछे की छलाँग है: 6 − 4 = 2, और 2 खाली है। फिर आगे की छलाँगें 7, 13 और 20 से गुज़रती हैं, उसके बाद अनुक्रम 12 पाता है।
वह कदम जो 6 होना चाहिए लगता है
कदम 7 पर पिछला पद 13 है। घटाने पर 13 − 7 = 6 मिलता है। छह धनात्मक है, पर वह पहले से a₃ है, इसलिए नियम उसे अस्वीकार करता है और जोड़ता है: 13 + 7 = 20। जब भी पीछे का स्थान भरा होता है, यही होता है। कदम 6 1 को, कदम 9 3 को और कदम 11 0 को अस्वीकार करता है। इन पंद्रह कदमों के बाद आए धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 और 20 से 24 तक हैं। इस आरंभिक भाग में सबसे छोटी छूटी संख्या 4 है। 4 स्वयं कदम 131 पर ही आता है।
संख्या रेखा पर अर्धवृत्त
aₙ₋₁ और aₙ को ऐसे अर्धवृत्त से जोड़ें जिसका व्यास छलाँग की लंबाई n हो। विषम कदम रेखा के ऊपर और सम कदम नीचे चाप बनाते हैं। फ़िरोज़ी रंग में बनी पीछे की छलाँगें अंतरालों में जाती हैं। एम्बर रंग में बनी आगे की छलाँगें नए उच्चतम बिंदु तक पहुँचती हैं। चापों का यह ढेर वही चित्र है जिसे Edmund Harriss और Numberphile ने लोकप्रिय बनाया: एक लालची नियम से बना शंख जैसा खंड।
छलाँगें सुनना
वही मान सुरों के रूप में बजाए जा सकते हैं। ऐप में ध्वनि हर नए पद को प्राकृतिक माइनर स्केल से जोड़ती है: पीछे की छलाँग साइन स्वर है, आगे की छलाँग अधिक कोमल त्रिकोणीय तरंग। धुन अप्रत्याशित है क्योंकि अनुक्रम बार-बार अप्रयुक्त पूर्णांकों में गिरता है और फिर आगे उछलता है। ध्वनि चालू करें और पसंदीदा धुन चुनकर बजाएँ, या चाप बढ़ते समय ध्वनि पर टिक करें।
एक खुला प्रश्न और 852,655
नील स्लोन ने अनुमान लगाया कि हर अऋणात्मक पूर्णांक अंततः आता है। यह अब भी सिद्ध नहीं हुआ है। शुरुआती अंतराल भर जाते हैं: 4 पहले पंद्रह पदों में नहीं है और फिर कदम 131 पर आता है। जो छोटी संख्या टिकी हुई है वह 852,655 है। Allan Wilks ने पाया कि यह 10^15 पदों के बाद भी छूटी थी। बेंजामिन चैफ़िन गणना बढ़ाते रहे और फ़रवरी 2026 में बताया कि 10^612 पदों के बाद भी 852,655 सबसे छोटी छूटी संख्या है।
PictorX में खोजें
रेकामान अनुक्रम खोलें और अर्धवृत्त बढ़ाएँ, पहले पंद्रह पदों की चरण तालिका पढ़ें, या छूटी संख्याएँ पर जाकर आरंभिक भाग का सबसे छोटा अंतराल देखें। चापों को हिलाने के लिए खींचें, ज़ूम के लिए स्क्रॉल करें और फिर से फ़िट करने के लिए डबल-क्लिक करें। PNG सहेजें या कैनवास को PictorX संपादक में खोलें। फ़िबोनाची अनुक्रम और कोलाट्ज़ अनुमान छोटे नियम से बने दो और चित्र हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
रेकामान अनुक्रम क्या है?
वह अनुक्रम जिसमें a₀ = 0 और n > 0 के लिए, यदि मान धनात्मक और नया हो तो aₙ = aₙ₋₁ − n, अन्यथा aₙ = aₙ₋₁ + n। यह OEIS A005132 है। पहले पद 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 हैं।
कदम 7 6 के बजाय 20 पर क्यों पहुँचता है?
13 − 7 = 6 और 6 पहले से अनुक्रम में है, इसलिए पीछे की छलाँग अस्वीकार होती है। कदम इसके बजाय 7 जोड़ता है और 20 पर पहुँचता है।
अर्धवृत्तों का क्या अर्थ है?
हर अर्धवृत्त aₙ₋₁ को aₙ से जोड़ता है और उसका व्यास n है। विषम कदम संख्या रेखा के ऊपर और सम कदम नीचे जाते हैं। फ़िरोज़ी चाप किसी खाली पूर्णांक पर पीछे कूदे। एम्बर चाप आगे कूदे।
क्या हर धनात्मक पूर्णांक आता है?
कोई नहीं जानता। स्लोन ने अनुमान लगाया कि हर अऋणात्मक पूर्णांक अंततः आता है। बेंजामिन चैफ़िन द्वारा गणना किए और फ़रवरी 2026 में बताए गए 10^612 पदों के बाद भी 852,655 सबसे छोटी छूटी संख्या है।
क्या चित्र मेरे डिवाइस से बाहर जाता है?
नहीं। अनुक्रम, चाप, अंतराल की खोज और धुन आपके ब्राउज़र में गणना किए जाते हैं। PNG सहेजें या कैनवास को PictorX संपादक में खोलें।
संबंधित टूल
रेकामान अनुक्रम
0 से शुरू करें। हर कदम n पीछे कूदता है यदि वह स्थान धनात्मक और नया हो, वरना आगे। अर्धवृत्त, छूटी संख्याएँ और उन्हीं छलाँगों से बनी धुन देखें।
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