Barisan Recamán
Barisan Recamán dimulai dari 0 dan selalu mencoba melangkah mundur. Barisan ini hanya maju jika tempat di belakang akan negatif atau sudah ada di barisan. Bilangan yang sama, digambar sebagai setengah lingkaran yang bergantian, membentuk spiral.
Lompatan yang lebih menyukai masa lalu
Bernardo Recamán Santos mendefinisikan barisan ini, dan Neil Sloane mencatatnya sebagai OEIS A005132. Barisan ini dimulai dengan a₀ = 0. Untuk setiap langkah n berikutnya, lihat aₙ₋₁ − n. Jika bilangan bulat itu positif dan belum muncul, itulah aₙ. Jika tidak, aₙ = aₙ₋₁ + n. Nol sudah menjadi suku awal, jadi lompatan mundur tidak pernah mendarat di sana. OEIS kini merumuskan ujiannya sebagai non-negatif dan belum dipakai. Itu aturan yang sama: 0 sudah dipakai, jadi nilai mundur tetap harus berupa bilangan bulat positif yang baru.
Lima belas suku pertama
Barisan dimulai 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Langkah 1 tidak bisa mengurangkan: 0 − 1 = −1, jadi ia menambahkan dan mendarat di 1. Langkah 2 melakukan hal yang sama dan mendarat di 3. Langkah 3 akan kembali ke 0, yang sudah dipakai, jadi ia mendarat di 6. Langkah 4 adalah lompatan mundur pertama: 6 − 4 = 2, dan 2 kosong. Lompatan maju kemudian melewati 7, 13, dan 20 sebelum barisan menemukan 12.
Langkah yang tampaknya seharusnya 6
Pada langkah 7, suku sebelumnya adalah 13. Pengurangan memberi 13 − 7 = 6. Enam positif, tetapi sudah menjadi a₃, jadi aturan menolaknya dan menambahkan: 13 + 7 = 20. Hal yang sama terjadi setiap kali tempat di belakang sudah terisi. Langkah 6 menolak 1, langkah 9 menolak 3, dan langkah 11 menolak 0. Setelah lima belas langkah itu, bilangan bulat positif yang sudah muncul adalah 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, dan 20 sampai 24. Bilangan hilang terkecil di awal ini adalah 4. Angka 4 sendiri baru muncul pada langkah 131.
Setengah lingkaran pada garis bilangan
Hubungkan aₙ₋₁ dan aₙ dengan setengah lingkaran yang diameternya sama dengan panjang lompatan n. Langkah ganjil melengkung di atas garis, langkah genap di bawahnya. Lompatan mundur, digambar teal, masuk ke celah. Lompatan maju, digambar amber, mencapai titik tertinggi baru. Tumpukan busur ini adalah gambar yang dipopulerkan oleh Edmund Harriss dan Numberphile: potongan mirip cangkang yang dibangun dari satu aturan serakah.
Mendengar lompatan
Nilai yang sama dapat dimainkan sebagai nada. Di aplikasi, Suara memetakan setiap suku baru ke tangga nada minor natural: lompatan mundur berupa nada sinus, lompatan maju berupa gelombang segitiga yang lebih lembut. Melodinya tak terduga karena barisan terus jatuh ke bilangan bulat yang belum dipakai, lalu melesat maju lagi. Nyalakan Suara dan putar dengan memilih favorit Melodi, atau centang Suara saat busur tumbuh.
Pertanyaan terbuka dan 852.655
Neil Sloane menduga setiap bilangan bulat non-negatif pada akhirnya muncul. Hal itu masih belum terbukti. Celah awal terisi: 4 hilang dari lima belas suku pertama, lalu muncul pada langkah 131. Bilangan kecil yang bertahan adalah 852.655. Allan Wilks mendapati bilangan itu hilang setelah 10^15 suku. Benjamin Chaffin terus memperluas perhitungannya dan melaporkan pada Februari 2026 bahwa setelah 10^612 suku, 852.655 masih merupakan bilangan hilang terkecil.
Jelajahi di PictorX
Buka barisan Recamán untuk menumbuhkan setengah lingkaran, membaca tabel langkah untuk lima belas suku pertama, atau beralih ke Bilangan yang hilang dan mengamati celah terkecil di awal barisan. Seret untuk memindahkan busur, gulir untuk memperbesar, dan klik dua kali untuk menyesuaikannya kembali. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX. Barisan Fibonacci dan dugaan Collatz adalah dua gambar lain yang dibuat dari aturan singkat.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu barisan Recamán?
Barisan dengan a₀ = 0 dan, untuk n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n jika nilai itu positif dan baru, jika tidak aₙ = aₙ₋₁ + n. Ini adalah OEIS A005132. Suku-suku pertamanya 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Mengapa langkah 7 mendarat di 20, bukan 6?
13 − 7 = 6 dan 6 sudah ada di barisan, jadi lompatan mundur ditolak. Langkah itu menambahkan 7 dan mendarat di 20.
Apa arti setengah lingkaran?
Setiap setengah lingkaran menghubungkan aₙ₋₁ ke aₙ dan berdiameter n. Langkah ganjil berada di atas garis bilangan, langkah genap di bawahnya. Busur teal melompat mundur ke bilangan bulat yang kosong. Busur amber melompat maju.
Apakah setiap bilangan bulat positif muncul?
Tidak ada yang tahu. Sloane menduga setiap bilangan bulat non-negatif pada akhirnya muncul. Setelah 10^612 suku, yang dihitung Benjamin Chaffin dan dilaporkan pada Februari 2026, 852.655 masih merupakan bilangan hilang terkecil.
Apakah gambarnya meninggalkan perangkat saya?
Tidak. Barisan, busur, pemindaian celah, dan melodi dihitung di browser Anda. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX.
Related alat
Barisan Recamán
Mulai dari 0. Setiap langkah melompat mundur n jika tempat itu positif dan baru, jika tidak maju. Saksikan setengah lingkaran, bilangan yang hilang, dan melodi dari lompatan yang sama.
Barisan Fibonacci
Setiap bilangan Fibonacci adalah jumlah dua suku sebelumnya. Lihat persegi tumbuh menjadi spiral, rasio mendekati rasio emas, dan rumus Binet membangun kembali bilangan yang sama.
Barisan Fibonacci
Mengapa bilangan Fibonacci berurutan mendekati rasio emas, bagaimana limit itu keluar dari rekursi, dan bagaimana rumus Binet membangun kembali setiap suku dari φ.
Konjektur Collatz
Jelajahi masalah Collatz 3n+1 di browser Anda. Telusuri barisan hujan es, tumbuhkan pohon Collatz geometris, dan perbesar fraktal Collatz kontinu.
Spiral Ulam
Gambar spiral Ulam di peramban Anda. Tandai bilangan prima, baca polinomial kuadrat pada setiap diagonal, dan buka deret 40 bilangan prima Euler yang tak terputus.
Spiral Ulam
Bagaimana spiral Stanisław Ulam tahun 1963 menata bilangan bulat pada kisi persegi, mengapa bilangan prima berkumpul pada diagonal kuadrat, dan di mana empat puluh bilangan prima Euler berada saat spiral dimulai dari 41.
Siap ke coba itu?
Buka PictorX di browser Anda — tidak instalasi, tidak credit kartu diperlukan ke mulai.
Coba barisan Recamán