レカマン数列
レカマン数列は 0 から始まり、常に後ろへ戻ろうとします。前へ進むのは、戻った位置が負になるか、すでに数列にある場合だけです。同じ数を上下交互の半円で描くと、らせんが現れます。
過去を好む跳躍
ベルナルド・レカマン・サントスがこの数列を定義し、ニール・スローンが OEIS A005132 として登録しました。a₀ = 0 から始まります。その後の各ステップ n では aₙ₋₁ − n を調べます。その整数が正でまだ現れていなければ、それが aₙ です。そうでなければ aₙ = aₙ₋₁ + n です。 0 はすでに最初の項なので、後ろへの跳躍が 0 に着地することはありません。現在の OEIS は条件を「非負かつ未使用」と表現しています。これは同じ規則です。0 は使用済みなので、戻った値はやはり新しい正の整数でなければなりません。
最初の 15 項
数列は 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 と始まります。 ステップ 1 は引けません。0 − 1 = −1 なので、足して 1 に着地します。ステップ 2 も同様で 3 に着地します。ステップ 3 は使用済みの 0 に戻ってしまうので 6 に着地します。ステップ 4 が最初の後ろへの跳躍です。6 − 4 = 2 で、2 は空いています。その後、前への跳躍が 7、13、20 と続き、ようやく 12 が見つかります。
6 になりそうに見えるステップ
ステップ 7 では、直前の項は 13 です。引くと 13 − 7 = 6 です。6 は正ですが、すでに a₃ なので規則はこれを拒否し、代わりに足します。13 + 7 = 20 です。戻った位置が埋まっているときは、いつも同じことが起こります。ステップ 6 は 1 を、ステップ 9 は 3 を、ステップ 11 は 0 を拒否します。 この 15 ステップのあと、現れた正の整数は 1、2、3、6、7、9、10、11、12、13 と 20 から 24 です。この先頭部分で最小の欠けている数は 4 です。4 そのものはステップ 131 まで現れません。
数直線上の半円
aₙ₋₁ と aₙ を、跳躍の長さ n を直径とする半円で結びます。奇数ステップは数直線の上に、偶数ステップは下に弧を描きます。ティールで描かれた後ろへの跳躍は隙間に収まり、アンバーで描かれた前への跳躍は新たな最大値に達します。この弧の重なりは、Edmund Harriss と Numberphile によって広まった図です。ひとつの貪欲な規則から生まれた、貝殻のような断面です。
跳躍を聴く
同じ値は音符として演奏できます。アプリでは「サウンド」が各新しい項を自然的短音階に割り当てます。後ろへの跳躍はサイン波、前への跳躍はより柔らかな三角波です。数列が未使用の整数に何度も落ち込み、また前へ跳ぶため、メロディーは予測できません。「サウンド」をオンにしてお気に入りの「メロディー」を選んで再生するか、弧が伸びている間に「サウンド」にチェックを入れてください。
未解決の問題と 852,655
ニール・スローンは、すべての非負整数がいずれ現れると予想しました。これはいまだに証明されていません。初期の隙間は埋まっていきます。4 は最初の 15 項に欠けていますが、ステップ 131 で現れます。現れないまま残っている小さな数が 852,655 です。Allan Wilks は 10^15 項の時点ですでにこれが欠けていることを見つけました。ベンジャミン・チャフィンは計算を延長し続け、2026 年 2 月に、10^612 項を計算しても 852,655 が最小の欠けている数のままだと報告しました。
PictorX で探る
レカマン数列を開いて半円を伸ばしたり、最初の 15 項のステップ表を読んだり、「欠けている数」に切り替えて先頭部分の最小の隙間を追ったりできます。ドラッグで弧を動かし、スクロールでズームし、ダブルクリックで再びフィットさせます。PNG を保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開いてください。フィボナッチ数列とコラッツ予想も、短い規則から描かれる別の図です。
よくある質問
レカマン数列とは？
a₀ = 0 で、n > 0 のとき aₙ₋₁ − n が正で新しい値なら aₙ = aₙ₋₁ − n、そうでなければ aₙ = aₙ₋₁ + n とする数列です。OEIS A005132 です。最初の項は 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 です。
なぜステップ 7 は 6 ではなく 20 になるの？
13 − 7 = 6 ですが、6 はすでに数列にあるため後ろへの跳躍は拒否されます。代わりに 7 を足して 20 になります。
半円は何を意味するの？
各半円は aₙ₋₁ と aₙ を結び、直径は n です。奇数ステップは数直線の上、偶数ステップは下を通ります。ティールの弧は空いている整数へ戻り、アンバーの弧は前へ跳びました。
すべての正の整数が現れるの？
誰にもわかりません。スローンは、すべての非負整数がいずれ現れると予想しました。ベンジャミン・チャフィンが計算し 2026 年 2 月に報告した 10^612 項の時点でも、852,655 が最小の欠けている数のままです。
図はデバイスの外に送られるの？
いいえ。数列、弧、隙間の探索、メロディーはブラウザー内で計算されます。PNG を保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開いてください。
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0 から始めます。各ステップは、n だけ戻った位置が正で未使用なら後ろへ、そうでなければ前へ跳びます。半円、欠けている数、同じ跳躍から生まれるメロディーを見てみましょう。
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