Recamáns talfølge
Recamáns talfølge starter ved 0 og prøver altid at gå tilbage. Den går kun frem, når pladsen bagud ville være negativ eller allerede er i følgen. De samme tal, tegnet som skiftende halvcirkler, danner spiralen.
Et hop, der foretrækker fortiden
Bernardo Recamán Santos definerede følgen, og Neil Sloane katalogiserede den som OEIS A005132. Den starter ved a₀ = 0. For hvert senere skridt n ser man på aₙ₋₁ − n. Hvis det heltal er positivt og ikke er dukket op endnu, er det aₙ. Ellers er aₙ = aₙ₋₁ + n. Nul er allerede startleddet, så et hop tilbage lander aldrig på det. OEIS formulerer nu testen som ikke-negativ og ubrugt. Det er den samme regel: 0 er brugt, så værdien bagud skal stadig være et positivt, nyt heltal.
De første femten led
Følgen begynder 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Skridt 1 kan ikke trække fra: 0 − 1 = −1, så det lægger til og lander på 1. Skridt 2 gør det samme og lander på 3. Skridt 3 ville vende tilbage til 0, som allerede er brugt, så det lander på 6. Skridt 4 er det første hop tilbage: 6 − 4 = 2, og 2 er frit. Hoppene frem fortsætter derefter gennem 7, 13 og 20, før følgen finder 12.
Skridtet, der ser ud til at skulle give 6
Ved skridt 7 er det forrige led 13. Fratrækning giver 13 − 7 = 6. Seks er positivt, men det er allerede a₃, så reglen afviser det og lægger til i stedet: 13 + 7 = 20. Det samme sker, hver gang pladsen bagud er optaget. Skridt 6 afviser 1, skridt 9 afviser 3, og skridt 11 afviser 0. Efter disse femten skridt er de positive heltal 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 og 20 til 24 dukket op. Det mindste manglende tal i den begyndelse er 4. Selve 4 dukker først op ved skridt 131.
Halvcirkler på tallinjen
Forbind aₙ₋₁ med aₙ med en halvcirkel, hvis diameter er hoppets længde n. Ulige skridt buer over linjen og lige skridt under. Hop tilbage, tegnet i turkis, gemmer sig i huller. Hop frem, tegnet i rav, når et nyt maksimum. Bunken af buer er det billede, Edmund Harriss og Numberphile gjorde kendt: et tværsnit, der ligner en muslingeskal, bygget af én grådig regel.
Hør hoppene
De samme værdier kan spilles som toner. I appen knytter Lyd hvert nyt led til en naturlig molskala: et hop tilbage er en sinustone, og et hop frem er en blødere trekantbølge. Melodien er uforudsigelig, fordi følgen hele tiden falder ned i ubrugte heltal og så springer frem igen. Slå Lyd til, og afspil ved at vælge favoritten Melodi, eller sæt flueben ved Lyd, mens buerne vokser.
Et åbent spørgsmål og 852.655
Neil Sloane formodede, at hvert ikke-negativt heltal til sidst dukker op. Det er stadig ikke bevist. De tidlige huller fyldes: 4 mangler i de første femten led og dukker så op ved skridt 131. Det lille tal, der har holdt stand, er 852.655. Allan Wilks fandt allerede, at det manglede efter 10^15 led. Benjamin Chaffin udvidede beregningen og rapporterede i februar 2026, at 852.655 efter 10^612 led stadig er det mindste manglende tal.
Udforsk den i PictorX
Åbn Recamáns talfølge for at lade halvcirklerne vokse, læse trintabellen for de første femten led eller skifte til Manglende tal og følge det mindste hul i begyndelsen af følgen. Træk for at flytte buerne, rul for at zoome, og dobbeltklik for at tilpasse dem igen. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Fibonacci-talrækken og Collatz-formodningen er to andre billeder skabt af en kort regel.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er Recamáns talfølge?
Følgen med a₀ = 0 og, for n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n, når den værdi er positiv og ny, ellers aₙ = aₙ₋₁ + n. Den er OEIS A005132. De første led er 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Hvorfor lander skridt 7 på 20 og ikke på 6?
13 − 7 = 6, og 6 er allerede i følgen, så hoppet tilbage afvises. Skridtet lægger i stedet 7 til og lander på 20.
Hvad betyder halvcirklerne?
Hver halvcirkel forbinder aₙ₋₁ med aₙ og har diameter n. Ulige skridt går over tallinjen og lige skridt under. Turkise buer hoppede tilbage til et frit heltal. Ravfarvede buer hoppede frem.
Dukker alle positive heltal op?
Det ved ingen. Sloane formodede, at hvert ikke-negativt heltal til sidst dukker op. Efter 10^612 led, beregnet af Benjamin Chaffin og rapporteret i februar 2026, er 852.655 stadig det mindste manglende tal.
Forlader tegningen min enhed?
Nej. Følgen, buerne, søgningen efter huller og melodien beregnes i din browser. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.
Relaterede værktøjer
Recamáns talfølge
Start ved 0. Hvert skridt hopper n tilbage, når den plads er positiv og ny, og ellers frem. Se halvcirklerne, de manglende tal og en melodi fra de samme hop.
Fibonacci-talrækken
Hvert Fibonacci-tal er summen af de to foregående. Se kvadraterne blive en spiral, forholdene nærme sig det gyldne snit, og Binets formel genskabe de samme tal.
Fibonacci-talrækken
Hvorfor på hinanden følgende Fibonacci-tal nærmer sig det gyldne snit, hvordan grænsen følger af rekursionen, og hvordan Binets formel genskaber hvert led ud fra φ.
Collatz-formodningen
Udforsk Collatz' 3n+1-problem i din browser. Følg haglkornsfølger, lad et geometrisk Collatz-træ vokse, og zoom ind i den kontinuerlige Collatz-fraktal.
Ulams spiral
Tegn Ulams spiral i din browser. Markér primtallene, læs andengradspolynomiet på hver diagonal, og åbn Eulers ubrudte række af 40 primtal.
Ulams spiral
Hvordan Stanisław Ulams spiral fra 1963 lægger heltallene på et kvadratisk gitter, hvorfor primtal samler sig på kvadratiske diagonaler, og hvor Eulers fyrre primtal ligger, når spiralen starter ved 41.
Er du klar til at prøve?
Åbn PictorX i din browser - ingen installation, ingen kreditkort kræves for at starte.
Prøv Recamáns talfølge