Rij van Recamán
De rij van Recamán begint bij 0 en probeert altijd terug te stappen. Ze stapt alleen vooruit als de plek terug negatief zou zijn of al in de rij staat. Dezelfde getallen, getekend als afwisselende halve cirkels, vormen de spiraal.
Een sprong die het verleden verkiest
Bernardo Recamán Santos definieerde de rij en Neil Sloane nam haar op als OEIS A005132. Ze begint bij a₀ = 0. Kijk voor elke latere stap n naar aₙ₋₁ − n. Is dat gehele getal positief en nog niet voorgekomen, dan is het aₙ. Anders is aₙ = aₙ₋₁ + n. Nul is al de startterm, dus een sprong terug landt er nooit op. OEIS formuleert de test nu als niet-negatief en ongebruikt. Dat is dezelfde regel: 0 is gebruikt, dus de waarde terug moet nog steeds een positief, nieuw geheel getal zijn.
De eerste vijftien termen
De rij begint met 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Stap 1 kan niet aftrekken: 0 − 1 = −1, dus hij telt op en komt op 1. Stap 2 doet hetzelfde en komt op 3. Stap 3 zou terugkeren naar 0, dat al gebruikt is, dus hij komt op 6. Stap 4 is de eerste sprong terug: 6 − 4 = 2, en 2 is vrij. De sprongen vooruit gaan daarna via 7, 13 en 20 voordat de rij 12 vindt.
De stap die 6 lijkt te moeten zijn
Bij stap 7 is de vorige term 13. Aftrekken geeft 13 − 7 = 6. Zes is positief, maar het is al a₃, dus de regel weigert het en telt op: 13 + 7 = 20. Dat gebeurt telkens als de plek terug bezet is. Stap 6 weigert 1, stap 9 weigert 3 en stap 11 weigert 0. Na deze vijftien stappen zijn de positieve gehele getallen 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 en 20 tot en met 24 verschenen. Het kleinste ontbrekende getal in dat beginstuk is 4. De 4 zelf verschijnt pas bij stap 131.
Halve cirkels op de getallenlijn
Verbind aₙ₋₁ met aₙ door een halve cirkel waarvan de middellijn de spronglengte n is. Oneven stappen buigen boven de lijn en even stappen eronder. Sprongen terug, in turquoise, vallen in gaten. Sprongen vooruit, in amber, bereiken een nieuw maximum. De stapel bogen is het beeld dat Edmund Harriss en Numberphile bekend hebben gemaakt: een doorsnede die op een schelp lijkt, gebouwd uit één gulzige regel.
De sprongen horen
Dezelfde waarden kun je als noten afspelen. In de app koppelt Geluid elke nieuwe term aan een natuurlijke mineurtoonladder: een sprong terug is een sinustoon, een sprong vooruit een zachtere driehoeksgolf. De melodie is onvoorspelbaar, omdat de rij steeds in ongebruikte getallen valt en dan weer vooruit springt. Zet Geluid aan en speel af door de favoriet Melodie te kiezen, of vink Geluid aan terwijl de bogen groeien.
Een open vraag, en 852.655
Neil Sloane vermoedde dat elk niet-negatief geheel getal uiteindelijk voorkomt. Dat is nog steeds niet bewezen. De vroege gaten vullen zich wel: 4 ontbreekt in de eerste vijftien termen en verschijnt dan bij stap 131. Het kleine getal dat standhoudt is 852.655. Allan Wilks vond het al ontbrekend na 10^15 termen. Benjamin Chaffin breidde de berekening steeds verder uit en meldde in februari 2026 dat na 10^612 termen 852.655 nog steeds het kleinste ontbrekende getal is.
Verken het in PictorX
Open de rij van Recamán om de halve cirkels te laten groeien, de stappentabel van de eerste vijftien termen te lezen, of schakel naar Ontbrekende getallen en volg het kleinste gat in het beginstuk. Sleep om de bogen te verplaatsen, scrol om te zoomen en dubbelklik om ze weer passend te maken. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor. De rij van Fibonacci en het vermoeden van Collatz zijn twee andere beelden uit een korte regel.
Veelgestelde vragen
Wat is de rij van Recamán?
De rij met a₀ = 0 en, voor n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n als die waarde positief en nieuw is, anders aₙ = aₙ₋₁ + n. Het is OEIS A005132. De eerste termen zijn 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Waarom komt stap 7 op 20 uit en niet op 6?
13 − 7 = 6, en 6 staat al in de rij, dus de sprong terug wordt geweigerd. De stap telt in plaats daarvan 7 op en komt op 20 uit.
Wat betekenen de halve cirkels?
Elke halve cirkel verbindt aₙ₋₁ met aₙ en heeft middellijn n. Oneven stappen gaan boven de getallenlijn en even stappen eronder. Turquoise bogen sprongen terug naar een vrij getal. Amberkleurige bogen sprongen vooruit.
Komt elk positief geheel getal voor?
Niemand weet het. Sloane vermoedde dat elk niet-negatief geheel getal uiteindelijk voorkomt. Na 10^612 termen, berekend door Benjamin Chaffin en gemeld in februari 2026, is 852.655 nog steeds het kleinste ontbrekende getal.
Verlaat de tekening mijn apparaat?
Nee. De rij, de bogen, het zoeken naar gaten en de melodie worden in je browser berekend. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
Rij van Recamán
Begin bij 0. Elke stap springt n terug als die plek positief en nieuw is, en anders vooruit. Bekijk de halve cirkels, de ontbrekende getallen en een melodie uit dezelfde sprongen.
De rij van Fibonacci
Elk Fibonacci-getal is de som van de twee ervoor. Zie de vierkanten een spiraal worden, de verhoudingen naar de gulden snede lopen en de formule van Binet dezelfde getallen teruggeven.
De rij van Fibonacci
Waarom opeenvolgende Fibonacci-getallen naar de gulden snede lopen, hoe die limiet uit de recurrente betrekking valt en hoe de formule van Binet elke term uit φ terugbouwt.
Het vermoeden van Collatz
Verken het Collatz-3n+1-probleem in je browser. Volg hagelsteenreeksen, laat een geometrische Collatz-boom groeien en zoom in op de continue Collatz-fractal.
Ulam-spiraal
Teken de Ulam-spiraal in je browser. Markeer de priemgetallen, lees de kwadratische formule van elke diagonaal en open Eulers ononderbroken reeks van 40 priemgetallen.
De Ulam-spiraal
Hoe de spiraal van Stanisław Ulam uit 1963 de gehele getallen op een vierkant raster legt, waarom priemgetallen zich op kwadratische diagonalen verzamelen en waar Eulers veertig priemgetallen liggen als de spiraal bij 41 begint.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Probeer de rij van Recamán