Sequência de Recamán
A sequência de Recamán começa em 0 e tenta sempre recuar. Só avança quando a posição para trás seria negativa ou já está na sequência. Os mesmos números, desenhados como semicírculos alternados, formam a espiral.
Um salto que prefere o passado
Bernardo Recamán Santos definiu a sequência e Neil Sloane catalogou-a como OEIS A005132. Começa em a₀ = 0. Para cada passo seguinte n, olha-se para aₙ₋₁ − n. Se esse inteiro for positivo e ainda não tiver aparecido, é aₙ. Caso contrário, aₙ = aₙ₋₁ + n. O zero já é o termo inicial, por isso um salto para trás nunca cai nele. A OEIS formula hoje o teste como não negativo e não usado. É a mesma regra: o 0 está usado, por isso o valor para trás tem de continuar a ser um inteiro positivo novo.
Os quinze primeiros termos
A sequência começa por 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. O passo 1 não pode subtrair: 0 − 1 = −1, por isso soma e cai em 1. O passo 2 faz o mesmo e cai em 3. O passo 3 voltaria a 0, que já está usado, por isso cai em 6. O passo 4 é o primeiro salto para trás: 6 − 4 = 2, e o 2 está livre. Os saltos para a frente continuam depois por 7, 13 e 20 antes de a sequência encontrar o 12.
O passo que parece que devia dar 6
No passo 7 o termo anterior é 13. Subtraindo obtém-se 13 − 7 = 6. O seis é positivo, mas já é a₃, por isso a regra recusa-o e soma: 13 + 7 = 20. O mesmo acontece sempre que a posição para trás está ocupada. O passo 6 recusa o 1, o passo 9 recusa o 3 e o passo 11 recusa o 0. Após estes quinze passos, os inteiros positivos que apareceram são 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 e de 20 a 24. O menor número em falta nesse troço é 4. O próprio 4 só aparece no passo 131.
Semicírculos na reta numérica
Ligue aₙ₋₁ a aₙ com um semicírculo cujo diâmetro é o comprimento do salto n. Os passos ímpares formam um arco acima da reta e os pares abaixo. Os saltos para trás, a turquesa, encaixam-se nas lacunas. Os saltos para a frente, a âmbar, atingem um novo máximo. A pilha de arcos é a imagem popularizada por Edmund Harriss e pelo Numberphile: um corte que parece uma concha, construído a partir de uma única regra gananciosa.
Ouvir os saltos
Os mesmos valores podem ser tocados como notas. Na aplicação, Som associa cada novo termo a uma escala menor natural: um salto para trás é um tom sinusoidal e um salto para a frente um triângulo mais suave. A melodia é imprevisível porque a sequência cai repetidamente em inteiros não usados e volta a saltar para a frente. Ligue o Som e reproduza escolhendo o favorito Melodia, ou marque Som enquanto os arcos crescem.
Uma questão em aberto e 852 655
Neil Sloane conjeturou que todo o inteiro não negativo acaba por aparecer. Isso continua por demonstrar. As primeiras lacunas preenchem-se: o 4 falta nos quinze primeiros termos e aparece no passo 131. O pequeno número que resiste é 852 655. Allan Wilks já o tinha encontrado em falta após 10^15 termos. Benjamin Chaffin continuou a alargar o cálculo e, em fevereiro de 2026, relatou que após 10^612 termos 852 655 continua a ser o menor número em falta.
Explore-a no PictorX
Abra a sequência de Recamán para fazer crescer os semicírculos, ler a tabela de passos dos quinze primeiros termos ou mudar para Números em falta e acompanhar a menor lacuna do troço. Arraste para mover os arcos, role para fazer zoom e faça duplo clique para os ajustar de novo. Guarde um PNG ou abra a tela no editor do PictorX. A sequência de Fibonacci e a conjetura de Collatz são outras duas imagens criadas a partir de uma regra curta.
Perguntas frequentes
O que é a sequência de Recamán?
A sequência com a₀ = 0 e, para n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n quando esse valor é positivo e novo; caso contrário, aₙ = aₙ₋₁ + n. É a OEIS A005132. Os primeiros termos são 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Porque é que o passo 7 cai em 20 e não em 6?
13 − 7 = 6, e 6 já está na sequência, por isso o salto para trás é recusado. O passo soma 7 e cai em 20.
O que significam os semicírculos?
Cada semicírculo liga aₙ₋₁ a aₙ e tem diâmetro n. Os passos ímpares ficam acima da reta numérica e os pares abaixo. Os arcos turquesa recuaram para um inteiro livre. Os arcos âmbar avançaram.
Todos os inteiros positivos aparecem?
Ninguém sabe. Sloane conjeturou que todo o inteiro não negativo acaba por aparecer. Após 10^612 termos, calculados por Benjamin Chaffin e comunicados em fevereiro de 2026, 852 655 continua a ser o menor número em falta.
O desenho sai do meu dispositivo?
Não. A sequência, os arcos, a procura de lacunas e a melodia são calculados no seu navegador. Guarde um PNG ou abra a tela no editor do PictorX.
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