Successione di Recamán
La successione di Recamán parte da 0 e prova sempre a tornare indietro. Va avanti solo quando la posizione all'indietro sarebbe negativa o è già nella successione. Gli stessi numeri, disegnati come semicerchi alternati, formano la spirale.
Un salto che preferisce il passato
Bernardo Recamán Santos ha definito la successione e Neil Sloane l'ha catalogata come OEIS A005132. Parte da a₀ = 0. Per ogni passo successivo n, si guarda aₙ₋₁ − n. Se quell'intero è positivo e non è ancora comparso, è aₙ. Altrimenti aₙ = aₙ₋₁ + n. Zero è già il termine iniziale, quindi un salto indietro non vi atterra mai. Oggi l'OEIS formula il test come non negativo e non usato. È la stessa regola: 0 è usato, quindi il valore all'indietro deve comunque essere un intero positivo nuovo.
I primi quindici termini
La successione inizia con 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Il passo 1 non può sottrarre: 0 − 1 = −1, quindi aggiunge e arriva a 1. Il passo 2 fa lo stesso e arriva a 3. Il passo 3 tornerebbe a 0, già usato, quindi arriva a 6. Il passo 4 è il primo salto indietro: 6 − 4 = 2, e 2 è libero. I salti in avanti proseguono poi per 7, 13 e 20 prima che la successione trovi 12.
Il passo che sembra dover dare 6
Al passo 7 il termine precedente è 13. Sottraendo si ottiene 13 − 7 = 6. Sei è positivo, ma è già a₃, quindi la regola lo rifiuta e aggiunge: 13 + 7 = 20. Lo stesso accade ogni volta che la posizione all'indietro è occupata. Il passo 6 rifiuta 1, il passo 9 rifiuta 3 e il passo 11 rifiuta 0. Dopo questi quindici passi, gli interi positivi comparsi sono 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 e da 20 a 24. Il più piccolo numero mancante in questo tratto è 4. Il 4 compare solo al passo 131.
Semicerchi sulla retta numerica
Unisci aₙ₋₁ ad aₙ con un semicerchio il cui diametro è la lunghezza del salto n. I passi dispari formano un arco sopra la retta, quelli pari sotto. I salti indietro, in turchese, si infilano nei buchi. I salti in avanti, in ambra, raggiungono un nuovo massimo. La pila di archi è l'immagine resa popolare da Edmund Harriss e da Numberphile: una sezione che sembra una conchiglia, costruita da un'unica regola avida.
Ascoltare i salti
Gli stessi valori si possono suonare come note. Nell'app, Suono associa ogni nuovo termine a una scala minore naturale: un salto indietro è un'onda sinusoidale, un salto in avanti un'onda triangolare più morbida. La melodia è imprevedibile perché la successione continua a cadere in interi non usati e poi a balzare di nuovo in avanti. Attiva Suono e avvia la riproduzione scegliendo il preferito Melodia, oppure spunta Suono mentre gli archi crescono.
Una questione aperta e 852.655
Neil Sloane ha congetturato che ogni intero non negativo prima o poi compaia. Non è ancora dimostrato. I primi buchi si riempiono: 4 manca nei primi quindici termini e poi compare al passo 131. Il piccolo numero che resiste è 852.655. Allan Wilks lo aveva già trovato mancante dopo 10^15 termini. Benjamin Chaffin ha continuato ad estendere il calcolo e a febbraio 2026 ha riferito che dopo 10^612 termini 852.655 è ancora il più piccolo numero mancante.
Esploralo in PictorX
Apri la successione di Recamán per far crescere i semicerchi, leggere la tabella dei passi per i primi quindici termini, oppure passa a Numeri mancanti e segui il buco più piccolo nel tratto iniziale. Trascina per spostare gli archi, scorri per lo zoom e fai doppio clic per adattarli di nuovo. Salva un PNG o apri la tela nell'editor di PictorX. La successione di Fibonacci e la congettura di Collatz sono altre due immagini nate da una regola breve.
Domande frequenti
Che cos'è la successione di Recamán?
La successione con a₀ = 0 e, per n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n quando quel valore è positivo e nuovo, altrimenti aₙ = aₙ₋₁ + n. È OEIS A005132. I primi termini sono 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Perché il passo 7 arriva a 20 e non a 6?
13 − 7 = 6, e 6 è già nella successione, quindi il salto indietro viene rifiutato. Il passo aggiunge invece 7 e arriva a 20.
Che cosa significano i semicerchi?
Ogni semicerchio collega aₙ₋₁ ad aₙ e ha diametro n. I passi dispari stanno sopra la retta numerica, quelli pari sotto. Gli archi turchesi sono tornati indietro su un intero libero. Gli archi ambra sono saltati avanti.
Compare ogni intero positivo?
Nessuno lo sa. Sloane ha congetturato che ogni intero non negativo prima o poi compaia. Dopo 10^612 termini, calcolati da Benjamin Chaffin e riferiti a febbraio 2026, 852.655 è ancora il più piccolo numero mancante.
Il disegno lascia il mio dispositivo?
No. La successione, gli archi, la ricerca dei buchi e la melodia sono calcolati nel tuo browser. Salva un PNG o apri la tela nell'editor di PictorX.
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