Șirul lui Recamán
Șirul lui Recamán începe la 0 și încearcă mereu să pășească înapoi. Pășește înainte doar când locul din spate ar fi negativ sau se află deja în șir. Aceleași numere, desenate ca semicercuri alternante, formează spirala.
Un salt care preferă trecutul
Bernardo Recamán Santos a definit șirul, iar Neil Sloane l-a catalogat drept OEIS A005132. Începe la a₀ = 0. Pentru fiecare pas următor n, te uiți la aₙ₋₁ − n. Dacă acel întreg este pozitiv și nu a apărut încă, el este aₙ. Altfel aₙ = aₙ₋₁ + n. Zero este deja termenul de start, așa că un salt înapoi nu aterizează niciodată pe el. OEIS formulează acum testul ca nenegativ și nefolosit. Este aceeași regulă: 0 este folosit, deci valoarea din spate trebuie să fie în continuare un întreg pozitiv nou.
Primii cincisprezece termeni
Șirul începe cu 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Pasul 1 nu poate scădea: 0 − 1 = −1, așa că adună și ajunge la 1. Pasul 2 face la fel și ajunge la 3. Pasul 3 s-ar întoarce la 0, care este deja folosit, așa că ajunge la 6. Pasul 4 este primul salt înapoi: 6 − 4 = 2, iar 2 este liber. Salturile înainte continuă apoi prin 7, 13 și 20 înainte ca șirul să găsească 12.
Pasul care pare să dea 6
La pasul 7 termenul anterior este 13. Scăderea dă 13 − 7 = 6. Șase este pozitiv, dar este deja a₃, așa că regula îl refuză și adună în schimb: 13 + 7 = 20. Același lucru se întâmplă de fiecare dată când locul din spate este ocupat. Pasul 6 refuză 1, pasul 9 refuză 3, iar pasul 11 refuză 0. După acești cincisprezece pași, întregii pozitivi apăruți sunt 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 și de la 20 la 24. Cel mai mic număr lipsă din acest început este 4. Însuși 4 apare abia la pasul 131.
Semicercuri pe axa numerelor
Unește aₙ₋₁ cu aₙ printr-un semicerc al cărui diametru este lungimea saltului n. Pașii impari se arcuiesc deasupra axei, iar cei pari dedesubt. Salturile înapoi, desenate în turcoaz, se strecoară în goluri. Salturile înainte, desenate în chihlimbar, ating un nou maxim. Grămada de arce este imaginea popularizată de Edmund Harriss și de Numberphile: o secțiune care seamănă cu o scoică, construită dintr-o singură regulă lacomă.
Ascultă salturile
Aceleași valori pot fi cântate ca note. În aplicație, Sunet asociază fiecare termen nou unei game minore naturale: un salt înapoi este un ton sinusoidal, iar un salt înainte un triunghi mai blând. Melodia este imprevizibilă, deoarece șirul cade mereu în întregi nefolosiți și apoi sare din nou înainte. Pornește Sunet și redă alegând favoritul Melodie sau bifează Sunet în timp ce arcele cresc.
O întrebare deschisă și 852.655
Neil Sloane a conjecturat că fiecare întreg nenegativ apare până la urmă. Acest lucru nu este încă demonstrat. Golurile timpurii se umplu: 4 lipsește din primii cincisprezece termeni și apare apoi la pasul 131. Numărul mic care a rezistat este 852.655. Allan Wilks l-a găsit deja lipsă după 10^15 termeni. Benjamin Chaffin a tot extins calculul și a raportat în februarie 2026 că, după 10^612 termeni, 852.655 este încă cel mai mic număr lipsă.
Explorează-l în PictorX
Deschide șirul lui Recamán ca să crești semicercurile, să citești tabelul pașilor pentru primii cincisprezece termeni sau să treci la Numere lipsă și să urmărești cel mai mic gol din începutul șirului. Trage ca să muți arcele, derulează ca să faci zoom și dă dublu clic ca să le încadrezi din nou. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX. Șirul Fibonacci și conjectura lui Collatz sunt alte două imagini născute dintr-o regulă scurtă.
Întrebări frecvente
Ce este șirul lui Recamán?
Șirul cu a₀ = 0 și, pentru n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n când acea valoare este pozitivă și nouă, altfel aₙ = aₙ₋₁ + n. Este OEIS A005132. Primii termeni sunt 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
De ce ajunge pasul 7 la 20 și nu la 6?
13 − 7 = 6, iar 6 este deja în șir, așa că saltul înapoi este refuzat. Pasul adună în schimb 7 și ajunge la 20.
Ce înseamnă semicercurile?
Fiecare semicerc leagă aₙ₋₁ de aₙ și are diametrul n. Pașii impari trec deasupra axei numerelor, iar cei pari dedesubt. Arcele turcoaz au sărit înapoi pe un întreg liber. Arcele chihlimbarii au sărit înainte.
Apare fiecare întreg pozitiv?
Nimeni nu știe. Sloane a conjecturat că fiecare întreg nenegativ apare până la urmă. După 10^612 termeni, calculați de Benjamin Chaffin și raportați în februarie 2026, 852.655 este încă cel mai mic număr lipsă.
Părăsește desenul dispozitivul meu?
Nu. Șirul, arcele, căutarea golurilor și melodia sunt calculate în browserul tău. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX.
Unelte conexe
Șirul lui Recamán
Pornește de la 0. Fiecare pas sare înapoi cu n când acel loc este pozitiv și nou, iar altfel sare înainte. Urmărește semicercurile, numerele lipsă și o melodie din aceleași salturi.
Șirul Fibonacci
Fiecare număr Fibonacci este suma celor două dinaintea lui. Urmărește cum pătratele devin o spirală, rapoartele se apropie de secțiunea de aur, iar formula lui Binet reconstruiește aceleași numere.
Șirul Fibonacci
De ce numerele Fibonacci consecutive se apropie de secțiunea de aur, cum iese limita din recurență și cum formula lui Binet reconstruiește fiecare termen din φ.
Conjectura Collatz
Explorează problema Collatz 3n+1 în browser. Urmărește șiruri grindină, crește un arbore Collatz geometric și mărește fractalul Collatz continuu.
Spirala lui Ulam
Desenează spirala lui Ulam în browser. Marchează numerele prime, citește polinomul de gradul al doilea de pe fiecare diagonală și deschide șirul neîntrerupt de 40 de numere prime al lui Euler.
Spirala lui Ulam
Cum așază spirala lui Stanisław Ulam din 1963 numerele întregi pe o grilă pătrată, de ce se adună numerele prime pe diagonale pătratice și unde stau cele patruzeci de numere prime ale lui Euler când spirala pornește de la 41.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Încearcă șirul lui Recamán