Suite de Recamán
La suite de Recamán part de 0 et essaie toujours de reculer. Elle n'avance que lorsque la position en arrière serait négative ou figure déjà dans la suite. Les mêmes nombres, dessinés en demi-cercles alternés, forment la spirale.
Un saut qui préfère le passé
Bernardo Recamán Santos a défini la suite, et Neil Sloane l'a cataloguée sous OEIS A005132. Elle commence à a₀ = 0. Pour chaque pas suivant n, on regarde aₙ₋₁ − n. Si cet entier est positif et n'est pas encore apparu, c'est aₙ. Sinon aₙ = aₙ₋₁ + n. Zéro est déjà le terme de départ, donc un saut en arrière n'y retombe jamais. L'OEIS formule aujourd'hui le test comme positif ou nul et non utilisé. C'est la même règle : 0 est utilisé, donc la valeur en arrière doit toujours être un entier positif nouveau.
Les quinze premiers termes
La suite commence par 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. Le pas 1 ne peut pas soustraire : 0 − 1 = −1, donc il ajoute et tombe sur 1. Le pas 2 fait de même et tombe sur 3. Le pas 3 reviendrait à 0, déjà utilisé, donc il tombe sur 6. Le pas 4 est le premier saut en arrière : 6 − 4 = 2, et 2 est libre. Les sauts en avant passent ensuite par 7, 13 et 20 avant que la suite trouve 12.
Le pas qui semble devoir donner 6
Au pas 7, le terme précédent est 13. La soustraction donne 13 − 7 = 6. Six est positif, mais c'est déjà a₃, donc la règle le refuse et ajoute à la place : 13 + 7 = 20. La même chose se produit chaque fois que la place en arrière est prise. Le pas 6 refuse 1, le pas 9 refuse 3 et le pas 11 refuse 0. Après ces quinze pas, les entiers positifs apparus sont 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 et 20 à 24. Le plus petit nombre manquant de ce début est 4. Le 4 lui-même n'apparaît qu'au pas 131.
Des demi-cercles sur la droite numérique
Reliez aₙ₋₁ à aₙ par un demi-cercle dont le diamètre est la longueur du saut n. Les pas impairs forment un arc au-dessus de la droite, les pas pairs au-dessous. Les sauts en arrière, en turquoise, se glissent dans les trous. Les sauts en avant, en ambre, atteignent un nouveau maximum. L'empilement d'arcs est l'image popularisée par Edmund Harriss et par Numberphile : une coupe qui ressemble à un coquillage, construite à partir d'une seule règle gloutonne.
Écouter les sauts
Les mêmes valeurs peuvent être jouées comme des notes. Dans l'application, Son associe chaque nouveau terme à une gamme mineure naturelle : un saut en arrière est un son sinusoïdal, un saut en avant un triangle plus doux. La mélodie est imprévisible, car la suite retombe sans cesse dans des entiers inutilisés puis bondit de nouveau en avant. Activez Son et lancez la lecture en choisissant le favori Mélodie, ou cochez Son pendant que les arcs grandissent.
Une question ouverte, et 852 655
Neil Sloane a conjecturé que tout entier positif ou nul finit par apparaître. Ce n'est toujours pas démontré. Les premiers trous se comblent : 4 manque dans les quinze premiers termes puis apparaît au pas 131. Le petit nombre qui résiste est 852 655. Allan Wilks l'avait déjà trouvé manquant après 10^15 termes. Benjamin Chaffin a poursuivi le calcul et a indiqué en février 2026 qu'après 10^612 termes, 852 655 est toujours le plus petit nombre manquant.
L'explorer dans PictorX
Ouvrez la suite de Recamán pour faire grandir les demi-cercles, lire le tableau des pas pour les quinze premiers termes, ou passer à Nombres manquants et suivre le plus petit trou du début de suite. Faites glisser pour déplacer les arcs, faites défiler pour zoomer et double-cliquez pour les ajuster de nouveau. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l'éditeur PictorX. La suite de Fibonacci et la conjecture de Collatz sont deux autres images tirées d'une règle courte.
Questions fréquemment posées
Qu'est-ce que la suite de Recamán ?
La suite avec a₀ = 0 et, pour n > 0, aₙ = aₙ₋₁ − n quand cette valeur est positive et nouvelle, sinon aₙ = aₙ₋₁ + n. C'est OEIS A005132. Les premiers termes sont 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Pourquoi le pas 7 tombe-t-il sur 20 plutôt que sur 6 ?
13 − 7 = 6, et 6 est déjà dans la suite, donc le saut en arrière est refusé. Le pas ajoute 7 à la place et tombe sur 20.
Que signifient les demi-cercles ?
Chaque demi-cercle relie aₙ₋₁ à aₙ et a pour diamètre n. Les pas impairs passent au-dessus de la droite numérique, les pas pairs au-dessous. Les arcs turquoise ont reculé vers un entier libre. Les arcs ambre ont avancé.
Chaque entier positif apparaît-il ?
Personne ne le sait. Sloane a conjecturé que tout entier positif ou nul finit par apparaître. Après 10^612 termes, calculés par Benjamin Chaffin et signalés en février 2026, 852 655 est toujours le plus petit nombre manquant.
Le dessin quitte-t-il mon appareil ?
Non. La suite, les arcs, la recherche des trous et la mélodie sont calculés dans votre navigateur. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l'éditeur PictorX.
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