레카만 수열
레카만 수열은 0에서 시작하며 항상 뒤로 가려고 합니다. 뒤의 자리가 음수이거나 이미 수열에 있을 때만 앞으로 갑니다. 같은 수를 번갈아 놓인 반원으로 그리면 나선이 됩니다.
과거를 선호하는 도약
베르나르도 레카만 산토스가 이 수열을 정의했고, 닐 슬론이 OEIS A005132로 등록했습니다. a₀ = 0에서 시작합니다. 이후 각 단계 n에서 aₙ₋₁ − n을 봅니다. 이 정수가 양수이고 아직 나오지 않았다면 그것이 aₙ입니다. 그렇지 않으면 aₙ = aₙ₋₁ + n입니다. 0은 이미 시작 항이므로 뒤로 뛰는 도약이 0에 도착하는 일은 없습니다. 현재 OEIS는 조건을 음이 아니고 사용되지 않음으로 표현합니다. 같은 규칙입니다. 0은 이미 사용되었으므로 뒤로 간 값은 여전히 새로운 양의 정수여야 합니다.
처음 15개 항
수열은 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24로 시작합니다. 1번째 단계는 뺄 수 없습니다. 0 − 1 = −1이므로 더해서 1에 도착합니다. 2번째 단계도 같은 방식으로 3에 도착합니다. 3번째 단계는 이미 사용된 0으로 돌아가게 되므로 6에 도착합니다. 4번째 단계가 첫 번째 뒤로 뛰기입니다. 6 − 4 = 2이고 2는 비어 있습니다. 그 뒤 앞으로 뛰는 도약이 7, 13, 20을 지나고 나서야 수열이 12를 찾습니다.
6이어야 할 것처럼 보이는 단계
7번째 단계에서 이전 항은 13입니다. 빼면 13 − 7 = 6입니다. 6은 양수이지만 이미 a₃이므로 규칙은 이를 거부하고 대신 더합니다. 13 + 7 = 20입니다. 뒤의 자리가 차 있을 때마다 같은 일이 일어납니다. 6번째 단계는 1을, 9번째 단계는 3을, 11번째 단계는 0을 거부합니다. 이 15단계 뒤에 나타난 양의 정수는 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13과 20부터 24까지입니다. 이 앞부분에서 가장 작은 빠진 수는 4입니다. 4 자체는 131번째 단계에서야 나타납니다.
수직선 위의 반원
aₙ₋₁과 aₙ을 도약 길이 n을 지름으로 하는 반원으로 잇습니다. 홀수 단계는 수직선 위로, 짝수 단계는 아래로 호를 그립니다. 청록색으로 그린 뒤로 뛰기는 빈틈에 들어가고, 호박색으로 그린 앞으로 뛰기는 새로운 최고점에 닿습니다. 이 호의 겹침은 Edmund Harriss와 Numberphile이 널리 알린 그림으로, 하나의 탐욕적 규칙으로 만든 조개껍데기 같은 단면입니다.
도약 듣기
같은 값을 음으로 연주할 수 있습니다. 앱에서 소리는 각 새 항을 자연 단음계에 대응시킵니다. 뒤로 뛰기는 사인파, 앞으로 뛰기는 더 부드러운 삼각파입니다. 수열이 사용되지 않은 정수로 계속 떨어졌다가 다시 앞으로 튀어 나가기 때문에 멜로디는 예측할 수 없습니다. 소리를 켜고 즐겨찾기 멜로디를 선택해 재생하거나, 호가 자라는 동안 소리를 체크하세요.
열린 질문과 852,655
닐 슬론은 모든 음이 아닌 정수가 결국 나타난다고 추측했습니다. 이는 아직 증명되지 않았습니다. 초기의 빈틈은 채워집니다. 4는 처음 15개 항에 없지만 131번째 단계에서 나타납니다. 끝까지 버티는 작은 수는 852,655입니다. Allan Wilks는 10^15개 항 뒤에도 이 수가 빠져 있음을 발견했습니다. 벤저민 채핀은 계산을 계속 확장해 2026년 2월, 10^612개 항 뒤에도 852,655가 여전히 가장 작은 빠진 수라고 보고했습니다.
PictorX에서 탐색하기
레카만 수열을 열어 반원을 키우고, 처음 15개 항의 단계 표를 읽거나, 빠진 수로 전환해 앞부분의 가장 작은 빈틈을 지켜보세요. 드래그해 호를 옮기고, 스크롤해 확대·축소하고, 두 번 클릭해 다시 맞추세요. PNG를 저장하거나 PictorX 편집기에서 캔버스를 여세요. 피보나치 수열과 콜라츠 추측도 짧은 규칙으로 그린 그림입니다.
자주 묻는 질문
레카만 수열이란 무엇인가요?
a₀ = 0이고, n > 0일 때 aₙ₋₁ − n이 양수이고 새 값이면 aₙ = aₙ₋₁ − n, 그렇지 않으면 aₙ = aₙ₋₁ + n인 수열입니다. OEIS A005132입니다. 처음 항은 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24입니다.
7번째 단계는 왜 6이 아니라 20에 도착하나요?
13 − 7 = 6이고 6은 이미 수열에 있으므로 뒤로 뛰는 것이 거부됩니다. 대신 7을 더해 20에 도착합니다.
반원은 무엇을 뜻하나요?
각 반원은 aₙ₋₁과 aₙ을 잇고 지름은 n입니다. 홀수 단계는 수직선 위로, 짝수 단계는 아래로 지나갑니다. 청록색 호는 빈 정수로 뒤로 뛰었고, 호박색 호는 앞으로 뛰었습니다.
모든 양의 정수가 나타나나요?
아무도 모릅니다. 슬론은 모든 음이 아닌 정수가 결국 나타난다고 추측했습니다. 벤저민 채핀이 계산해 2026년 2월에 보고한 10^612개 항 뒤에도 852,655가 여전히 가장 작은 빠진 수입니다.
그림이 제 기기 밖으로 전송되나요?
아니요. 수열, 호, 빈틈 검사, 멜로디는 브라우저에서 계산됩니다. PNG를 저장하거나 PictorX 편집기에서 캔버스를 여세요.
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0에서 시작합니다. 각 단계는 n만큼 뒤의 자리가 양수이고 새 수이면 뒤로, 아니면 앞으로 뜁니다. 반원, 빠진 수, 같은 도약에서 나오는 멜로디를 지켜보세요.
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