Recamán dizisi
Recamán dizisi 0'dan başlar ve her zaman geri adım atmaya çalışır. Yalnızca geri yer negatif olacaksa ya da zaten dizideyse ileri adım atar. Aynı sayılar, değişen yarım daireler olarak çizildiğinde spirali oluşturur.
Geçmişi tercih eden bir sıçrama
Diziyi Bernardo Recamán Santos tanımladı, Neil Sloane da OEIS A005132 olarak katalogladı. a₀ = 0 ile başlar. Sonraki her n adımı için aₙ₋₁ − n değerine bakılır. Bu tam sayı pozitifse ve henüz görünmemişse aₙ odur. Aksi halde aₙ = aₙ₋₁ + n. Sıfır zaten başlangıç terimi olduğundan geri sıçrama asla ona düşmez. OEIS bugün testi negatif olmayan ve kullanılmamış diye ifade eder. Bu aynı kuraldır: 0 kullanılmıştır, dolayısıyla geri değer yine pozitif ve yeni bir tam sayı olmalıdır.
İlk on beş terim
Dizi 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24 ile başlar. 1. adım çıkaramaz: 0 − 1 = −1, bu yüzden ekler ve 1'e düşer. 2. adım aynısını yapar ve 3'e düşer. 3. adım zaten kullanılmış olan 0'a dönerdi, bu yüzden 6'ya düşer. 4. adım ilk geri sıçramadır: 6 − 4 = 2 ve 2 boştur. İleri sıçramalar ardından dizi 12'yi bulmadan önce 7, 13 ve 20 üzerinden sürer.
6 olması gerekiyormuş gibi görünen adım
7. adımda önceki terim 13'tür. Çıkarma 13 − 7 = 6 verir. Altı pozitiftir ama zaten a₃'tür, bu yüzden kural onu reddeder ve bunun yerine ekler: 13 + 7 = 20. Geri yer dolu olduğunda her seferinde aynısı olur. 6. adım 1'i, 9. adım 3'ü, 11. adım 0'ı reddeder. Bu on beş adımdan sonra ortaya çıkan pozitif tam sayılar 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 ve 20'den 24'e kadardır. Bu başlangıçtaki en küçük eksik sayı 4'tür. 4'ün kendisi ancak 131. adımda görünür.
Sayı doğrusu üzerinde yarım daireler
aₙ₋₁ ile aₙ'yi, çapı sıçrama uzunluğu n olan bir yarım daireyle birleştirin. Tek adımlar doğrunun üstünde, çift adımlar altında kavis çizer. Turkuaz çizilen geri sıçramalar boşluklara yerleşir. Kehribar çizilen ileri sıçramalar yeni bir zirveye ulaşır. Yay yığını, Edmund Harriss ve Numberphile'ın tanıttığı resimdir: tek bir açgözlü kuraldan kurulmuş, deniz kabuğuna benzeyen bir kesit.
Sıçramaları duymak
Aynı değerler nota olarak çalınabilir. Uygulamada Ses, her yeni terimi doğal minör gama eşler: geri sıçrama bir sinüs tonu, ileri sıçrama daha yumuşak bir üçgen dalgadır. Melodi öngörülemezdir, çünkü dizi sürekli kullanılmamış tam sayılara düşer ve sonra yeniden ileri atılır. Ses'i açın ve Melodi favorisini seçerek çalın ya da yaylar büyürken Ses'i işaretleyin.
Açık bir soru ve 852.655
Neil Sloane her negatif olmayan tam sayının sonunda ortaya çıktığını öne sürdü. Bu hâlâ kanıtlanmadı. Erken boşluklar dolar: 4 ilk on beş terimde eksiktir ve 131. adımda görünür. Direnen küçük sayı 852.655'tir. Allan Wilks onu 10^15 terimden sonra bile eksik buldu. Benjamin Chaffin hesabı genişletmeyi sürdürdü ve Şubat 2026'da 10^612 terimden sonra 852.655'in hâlâ en küçük eksik sayı olduğunu bildirdi.
PictorX'te keşfedin
Yarım daireleri büyütmek, ilk on beş terimin adım tablosunu okumak ya da Eksik sayılar'a geçip başlangıçtaki en küçük boşluğu izlemek için Recamán dizisini açın. Yayları taşımak için sürükleyin, yakınlaştırmak için kaydırın ve yeniden sığdırmak için çift tıklayın. Bir PNG kaydedin ya da tuvali PictorX düzenleyicisinde açın. Fibonacci dizisi ve Collatz sanısı, kısa bir kuraldan çizilen iki başka resimdir.
Sık sorulan sorular
Recamán dizisi nedir?
a₀ = 0 olan ve n > 0 için, bu değer pozitif ve yeniyse aₙ = aₙ₋₁ − n, aksi halde aₙ = aₙ₋₁ + n olan dizi. OEIS A005132'dir. İlk terimler 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
7. adım neden 6 değil de 20'ye düşer?
13 − 7 = 6 ve 6 zaten dizide, bu yüzden geri sıçrama reddedilir. Adım bunun yerine 7 ekler ve 20'ye düşer.
Yarım daireler ne anlama gelir?
Her yarım daire aₙ₋₁'i aₙ'ye bağlar ve çapı n'dir. Tek adımlar sayı doğrusunun üstünden, çift adımlar altından geçer. Turkuaz yaylar boş bir tam sayıya geri sıçradı. Kehribar yaylar ileri sıçradı.
Her pozitif tam sayı ortaya çıkar mı?
Kimse bilmiyor. Sloane her negatif olmayan tam sayının sonunda ortaya çıktığını öne sürdü. Benjamin Chaffin'in hesapladığı ve Şubat 2026'da bildirdiği 10^612 terimden sonra 852.655 hâlâ en küçük eksik sayıdır.
Çizim cihazımdan çıkıyor mu?
Hayır. Dizi, yaylar, boşluk taraması ve melodi tarayıcınızda hesaplanır. Bir PNG kaydedin ya da tuvali PictorX düzenleyicisinde açın.
İlgili araçlar
Recamán dizisi
0'dan başlayın. Her adım, o yer pozitif ve yeniyse n kadar geri, değilse ileri sıçrar. Yarım daireleri, eksik sayıları ve aynı sıçramalardan doğan bir melodiyi izleyin.
Fibonacci dizisi
Her Fibonacci sayısı kendinden önceki ikisinin toplamıdır. Karelerin spirale dönüşmesini, oranların altın orana yaklaşmasını ve Binet formülünün aynı sayıları kurmasını izleyin.
Fibonacci dizisi
Ardışık Fibonacci sayılarının neden altın orana yaklaştığını, bu limitin yinelemeden nasıl çıktığını ve Binet formülünün her terimi φ ile nasıl kurduğunu anlatır.
Collatz sanısı
Collatz 3n+1 problemini tarayıcınızda keşfedin. Dolu dizilerini izleyin, geometrik bir Collatz ağacı büyütün ve sürekli Collatz fraktalına yakınlaşın.
Ulam sarmalı
Ulam sarmalını tarayıcınızda çizin. Asalları işaretleyin, her köşegendeki ikinci dereceden polinomu okuyun ve Euler’in kesintisiz 40 asallık dizisini açın.
Ulam sarmalı
Stanisław Ulam’ın 1963 sarmalının tam sayıları kare bir ızgaraya nasıl dizdiği, asalların neden ikinci dereceden köşegenlerde toplandığı ve sarmal 41’den başladığında Euler’in kırk asalının nerede durduğu.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Recamán dizisini deneyin