圆周上的数字
在圆上放 n 个点。点 0 在顶部，数字按顺时针排列：0、1、2，一直到 n − 1。选一个倍数 m。在乘积图中，从每个点 k 到点 (k × m) mod n 画一条直线。除以 n 的余数就是线的终点。 在 10 个点的圆上，7 × 2 = 14，14 除以 10 余 4，所以线从 7 连到 4。给倍数加上 n 不会改变任何一条线。10 个点上的 12× 与 2× 是同一幅图，因为 12 和 2 的余数相同。
乘法表
课堂上的画法不是连起每个乘积，而是按顺序走过各个倍数。从 0 出发，不断加 m，再把这些点连起来。 在 10 个点上，2× 的路径是 0–2–4–6–8–0，一个五边形。4× 的路径是 0–4–8–2–6–0，一个五角星。3× 的路径经过每一个点。1× 的路径沿圆周走一圈，0× 的路径停在 0。“所有循环”会画出不经过 0 的回路。在 10 个点上，2× 表还有第二个五边形，经过所有奇数。这就是华德福课堂和其他动手算术中使用的圆，画在纸上、黑板上，或用毛线绕出来。
心形线
保持乘积规则，增加点数。到两百个左右时，2× 的线会挤靠在一条心形线上，它有一个尖点，就是圆顶部的那颗心。3× 的线挤靠在一条肾形线上，它有两个尖点。整数倍数 m 贴合一条有 m − 1 个尖点的曲线，5× 的线有四个。 每一条线都是直的，曲线只是线条不会越过的边缘。拖动倍数，尖点的数量就在眼前变化。1× 什么也画不出，因为每个点都落在自己身上。0× 把每条线都送到点 0。
纸、粉笔和钉子
这是人们手工画出的那个图形。“纸张”是暖色纸上的彩色铅笔，“粉笔”是绿色黑板上带粉尘的线条，“木纹”是一圈钉子，毛线从一颗钉子拉到另一颗，就像圆形钉板。 十个或十二个点适合读乘法表，数字可以放在圆周外侧一点。一百个点或更多则用来呈现曲线。钉子一旦会叠在一起就会隐去，由线条撑起整幅画。
在 PictorX 中探索
打开“乘法圆”，心形线已经画好了：200 个点，乘以 2，画在纸上。“2× 乘法表”“4× 星形”和“3× 乘法表”是显示数字的十点图。“12 个点，×5”是钟面上的星形。“肾形线”是 3× 曲线。“木板绕线”用 60 颗钉子和毛线。“粉笔扫动”在绿色黑板上让倍数向前播放。 按下播放，倍数就会前进。“上一个”和“下一步”每次跳过一整张表。点击一个点，读数会给出乘积和余数。保存为 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。乌拉姆螺旋和布丰投针是另外两段可以观看的数学。
常见问题
什么是乘法圆？
圆周上编了号的点，加上一幅乘以某个倍数的图。“乘积”把每个点 k 连到 (k × m) mod n，“乘法表”按顺序连起各个倍数：0、m、2m、3m……
为什么乘以 2 看起来像一颗心？
点数达到几百时，2× 乘积的直线会贴着一条心形线排开，这是一条有一个尖点的曲线。乘以 3 时贴着肾形线，它有两个尖点。整数倍数 m 给出 m − 1 个尖点。
为什么 4× 乘法表是星形？
在 10 个点的“乘法表”模式中，每步加 4 依次经过 0、4、8、2、6，再回到 0。这五条弦组成一个五角星。同一个圆上的 2× 表是五边形 0–2–4–6–8。
mod n 是什么意思？
除以 n（点数）后的余数。在 10 个点上，7 × 2 = 14，14 mod 10 是 4，所以线落在点 4。
乘法圆用在哪里？
华德福课堂和其他动手课程就是这样画乘法表的：画在纸上、黑板上，或在钉板上用线绕出来。点数很多的图形是模乘法的一幅图像。
相关工具
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