Giới thiệu vòng tròn phép nhân | Bảng cửu chương trên đường tròn

Các số quanh vành

Đặt n điểm trên một đường tròn. Điểm 0 ở trên cùng, và các số chạy theo chiều kim đồng hồ: 0, 1, 2, đến n − 1. Chọn một hệ số m. Trong hình vẽ tích, một đường thẳng nối mỗi điểm k với điểm (k × m) mod n. Số dư khi chia cho n là điểm mà đường thẳng kết thúc. Trên đường tròn 10 điểm, 7 × 2 = 14, và 14 chia 10 dư 4, nên đường nối từ 7 đến 4. Cộng n vào hệ số không làm thay đổi đường nào. 12× trên 10 điểm là cùng hình vẽ với 2×, vì 12 và 2 có cùng số dư.

Bảng cửu chương

Hình vẽ trên lớp đi qua các bội theo thứ tự thay vì nối mọi tích. Bắt đầu từ 0, cứ cộng thêm m, rồi nối các điểm đó. Trên 10 điểm, lộ trình 2× là 0–2–4–6–8–0, một ngũ giác. Lộ trình 4× là 0–4–8–2–6–0, một ngôi sao năm cánh. Lộ trình 3× đi qua mọi điểm. Lộ trình 1× đi một vòng quanh vành, còn lộ trình 0× đứng yên ở 0. "Tất cả chu trình" vẽ các vòng không đi qua 0. Trên 10 điểm, bảng 2× có ngũ giác thứ hai đi qua các số lẻ. Đây là vòng tròn dùng trong các giờ học Waldorf và các cách học số học thực hành khác, trên giấy, trên bảng phấn hoặc bằng len.

Đường cardioid

Giữ nguyên quy tắc tích và thêm điểm. Khoảng vài trăm điểm, các đường 2× dồn sát vào một đường cardioid, đường cong có một điểm lùi, trái tim ở đỉnh vòng tròn. Các đường 3× dồn vào một đường nephroid, có hai điểm lùi. Hệ số nguyên m ôm lấy đường cong có m − 1 điểm lùi. Các đường 5× có bốn. Mọi đường đều thẳng. Đường cong chỉ là mép mà các đường không vượt qua. Kéo hệ số và số điểm lùi thay đổi ngay trước mắt. Hệ số 1× không vẽ gì, vì mọi điểm rơi vào chính nó. Hệ số 0× gửi mọi đường về điểm 0.

Giấy, phấn và đinh

Đây là hình mà người ta vẽ bằng tay. Giấy là bút chì màu trên tờ giấy ấm. Phấn là bảng xanh và nét phấn bụi. Gỗ là một vòng đinh với sợi len căng từ đinh này sang đinh khác, tấm geoboard tròn. Mười hoặc mười hai điểm để đọc một bảng, và các số có thể nằm ngay ngoài vành. Từ một trăm điểm trở lên là dành cho đường cong. Đinh biến mất khi chúng sắp chồng lên nhau, và các đường thẳng tạo nên bức tranh.

Khám phá trong PictorX

Mở Vòng tròn phép nhân và đường cardioid đã được vẽ sẵn: 200 điểm, nhân 2, trên giấy. "Bảng 2×", "Ngôi sao 4×" và "Bảng 3×" là các hình mười điểm, có hiện số. "12 điểm, ×5" là ngôi sao trên mặt đồng hồ. "Nephroid" là đường cong 3×. "Chỉ trên gỗ" dùng 60 cây đinh và len. "Quét phấn" cho hệ số chạy tới trên bảng xanh. Nhấn phát và hệ số sẽ chạy. "Trước" và "Tiếp" mỗi lần nhảy cả một bảng. Nhấp vào một điểm và ô hiển thị cho biết tích và số dư. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Xoắn ốc Ulam và cây kim Buffon là hai mảnh toán học khác bạn có thể xem.

Hỏi thường xuyên

Vòng tròn phép nhân là gì?

Các điểm được đánh số quanh một đường tròn, và hình vẽ phép nhân với một hệ số. Tích nối mỗi điểm k với (k × m) mod n. Bảng cửu chương nối các bội theo thứ tự: 0, m, 2m, 3m, v.v.

Vì sao nhân 2 trông giống trái tim?

Với vài trăm điểm, các đường thẳng của tích 2× tựa vào một đường cardioid, đường cong có một điểm lùi. Nhân 3 tựa vào một đường nephroid, có hai điểm lùi. Hệ số nguyên m cho m − 1 điểm lùi.

Vì sao bảng 4× là ngôi sao?

Ở chế độ Bảng cửu chương trên 10 điểm, mỗi bước cộng 4 sẽ đi qua 0, 4, 8, 2, 6 rồi về 0. Năm dây cung đó tạo thành ngôi sao năm cánh. Bảng 2× trên cùng đường tròn là ngũ giác 0–2–4–6–8.

mod n nghĩa là gì?

Số dư khi chia cho n, tức số điểm. Trên 10 điểm, 7 × 2 = 14 và 14 mod 10 bằng 4, nên đường kết thúc ở điểm 4.

Vòng tròn phép nhân được dùng ở đâu?

Các giờ học Waldorf và các giờ học thực hành khác vẽ bảng cửu chương theo cách này, trên giấy, trên bảng phấn hoặc bằng dây trên tấm ván đóng đinh. Hình nhiều điểm là bức tranh của phép nhân mô-đun.