Informazioni sui cerchi di moltiplicazione | Le tabelline su un cerchio

Numeri lungo un bordo

Disponi n punti su un cerchio. Il punto 0 è in alto e i numeri procedono in senso orario: 0, 1, 2, fino a n − 1. Scegli un fattore m. Nel disegno dei prodotti una linea retta va da ogni punto k al punto (k × m) mod n. Il resto della divisione per n è il punto in cui la linea finisce. Su un cerchio di 10, 7 × 2 = 14, e 14 diviso 10 dà resto 4, quindi la linea va da 7 a 4. Aggiungere n al fattore non cambia nessuna linea. 12× su 10 punti è lo stesso disegno di 2×, perché 12 e 2 danno lo stesso resto.

La tabellina

Il disegno di classe percorre i multipli in ordine invece di unire ogni prodotto. Parti da 0, continua ad aggiungere m, poi unisci quei punti. Su 10 punti il percorso del 2× è 0–2–4–6–8–0, un pentagono. Quello del 4× è 0–4–8–2–6–0, una stella a cinque punte. Quello del 3× tocca ogni punto. Quello dell’1× fa un giro del bordo e quello dello 0× resta a 0. «Tutti i cicli» disegna gli anelli che non passano per 0. Su 10 punti la tabellina del 2 ha un secondo pentagono, attraverso i dispari. È il cerchio usato nelle lezioni Waldorf e in altra aritmetica pratica, su carta, alla lavagna o con il filo.

La cardioide

Mantieni la regola dei prodotti e aggiungi punti. A qualche centinaio, le linee 2× si accalcano contro una cardioide, una curva con una cuspide, il cuore in cima al cerchio. Le linee 3× si accalcano contro una nefroide, che ha due cuspidi. Un fattore intero m abbraccia una curva con m − 1 cuspidi. Le linee 5× ne hanno quattro. Ogni linea è dritta. La curva è solo il bordo che le linee non attraversano. Sposta il fattore e il numero di cuspidi cambia sotto i tuoi occhi. Il fattore 1× non disegna nulla, perché ogni punto ricade su se stesso. Il fattore 0× manda ogni linea al punto 0.

Carta, gesso e chiodi

È la figura che si disegna a mano. Carta è una matita colorata su un foglio caldo. Gesso è una lavagna verde e una linea polverosa. Legno è un anello di chiodi con il filo teso da chiodo a chiodo, il geopiano circolare. Dieci o dodici punti servono a leggere una tabellina, e i numeri possono stare appena fuori dal bordo. Cento punti o più servono per la curva. I chiodi scompaiono quando finirebbero uno sull’altro, e sono le linee a reggere l’immagine.

Esploralo in PictorX

Apri Cerchi di moltiplicazione e la cardioide è già disegnata: 200 punti, per 2, su carta. «Tabellina del 2», «Stella 4×» e «Tabellina del 3» sono i disegni a dieci punti, con i numeri visibili. «12 punti, ×5» è la stella su un quadrante d’orologio. «Nefroide» è la curva 3×. «Filo su legno» usa 60 chiodi e filo. «Passata di gesso» fa avanzare il fattore su una lavagna verde. Premi riproduci e il fattore cammina. «Indietro» e «Avanti» saltano di un’intera tabellina alla volta. Fai clic su un punto e il riquadro mostra prodotto e resto. Salva un PNG o apri la tela nell’editor di PictorX. La spirale di Ulam e l’ago di Buffon sono altri due pezzi di matematica da guardare.

Domande frequenti

Che cos’è un cerchio di moltiplicazione?

Punti numerati intorno a un cerchio e un disegno della moltiplicazione per un fattore. Prodotti collega ogni punto k a (k × m) mod n. Tabellina collega i multipli in ordine: 0, m, 2m, 3m e così via.

Perché la moltiplicazione per 2 sembra un cuore?

Con qualche centinaio di punti, le linee dritte dei prodotti per 2 si appoggiano a una cardioide, una curva con una cuspide. Per 3 si appoggiano a una nefroide, che ha due cuspidi. Un fattore intero m dà m − 1 cuspidi.

Perché la tabellina del 4 è una stella?

In modalità Tabellina su 10 punti, aggiungendo 4 a ogni passo si toccano 0, 4, 8, 2, 6 e di nuovo 0. Quelle cinque corde sono un pentagramma. La tabellina del 2 sullo stesso cerchio è il pentagono 0–2–4–6–8.

Che cosa significa mod n?

Il resto della divisione per n, il numero di punti. Su 10 punti, 7 × 2 = 14 e 14 mod 10 fa 4, quindi la linea finisce nel punto 4.

Dove si usano i cerchi di moltiplicazione?

Le lezioni Waldorf e altre lezioni pratiche disegnano così le tabelline, su carta, alla lavagna o con il filo su una tavola di chiodi. La figura con molti punti è un’immagine della moltiplicazione modulare.