Über Multiplikationskreise | Einmaleins auf einem Kreis

Zahlen um einen Rand

Setzen Sie n Punkte auf einen Kreis. Punkt 0 liegt oben, und die Zahlen laufen im Uhrzeigersinn: 0, 1, 2 bis n − 1. Wählen Sie einen Faktor m. In der Produktzeichnung verläuft eine gerade Linie von jedem Punkt k zum Punkt (k × m) mod n. Der Rest nach Division durch n ist der Punkt, an dem die Linie endet. Auf einem Kreis mit 10 Punkten ist 7 × 2 = 14, und 14 geteilt durch 10 lässt den Rest 4, also verläuft die Linie von 7 nach 4. Wer n zum Faktor addiert, ändert keine Linie. 12× auf 10 Punkten ist dieselbe Zeichnung wie 2×, weil 12 und 2 denselben Rest lassen.

Das Einmaleins

Die Zeichnung aus dem Unterricht geht die Vielfachen der Reihe nach ab, statt jedes Produkt zu verbinden. Beginnen Sie bei 0, addieren Sie immer wieder m und verbinden Sie diese Punkte. Auf 10 Punkten ist der 2×-Weg 0–2–4–6–8–0, ein Fünfeck. Der 4×-Weg ist 0–4–8–2–6–0, ein fünfzackiger Stern. Der 3×-Weg besucht jeden Punkt. Der 1×-Weg läuft einmal um den Rand, und der 0×-Weg bleibt bei 0. „Alle Zyklen“ zeichnet die Schleifen, die nicht durch 0 gehen. Auf 10 Punkten hat die 2er-Reihe ein zweites Fünfeck durch die ungeraden Zahlen. Dies ist der Kreis aus dem Waldorfunterricht und anderem handlungsorientierten Rechnen, auf Papier, an der Tafel oder mit Garn.

Die Kardioide

Behalten Sie die Produktregel bei und fügen Sie Punkte hinzu. Bei ein paar hundert drängen sich die 2×-Linien an eine Kardioide, eine Kurve mit einer Spitze, das Herz oben im Kreis. Die 3×-Linien drängen sich an eine Nephroide mit zwei Spitzen. Ein ganzzahliger Faktor m schmiegt sich an eine Kurve mit m − 1 Spitzen. Die 5×-Linien haben vier. Jede Linie ist gerade. Die Kurve ist nur der Rand, den die Linien nicht überschreiten. Verschieben Sie den Faktor, und die Zahl der Spitzen ändert sich vor Ihren Augen. Der Faktor 1× zeichnet nichts, weil jeder Punkt auf sich selbst fällt. Der Faktor 0× schickt jede Linie zu Punkt 0.

Papier, Kreide und Nägel

Es ist die Figur, die Menschen von Hand zeichnen. „Papier“ ist ein Buntstift auf einem warmen Blatt. „Kreide“ ist eine grüne Tafel und eine staubige Linie. „Holz“ ist ein Ring aus Nägeln mit Garn von Nagel zu Nagel, das runde Geobrett. Zehn oder zwölf Punkte dienen zum Ablesen einer Reihe, und die Zahlen können knapp außerhalb des Randes stehen. Hundert Punkte oder mehr sind für die Kurve. Die Nägel verschwinden, sobald sie aufeinander sitzen würden, und die Linien tragen das Bild.

Erkunden Sie es in PictorX

Öffnen Sie Multiplikationskreise, und die Kardioide ist schon gezeichnet: 200 Punkte, mal 2, auf Papier. „2er-Reihe“, „4×-Stern“ und „3er-Reihe“ sind die Zeichnungen mit zehn Punkten, mit eingeblendeten Zahlen. „12 Punkte, ×5“ ist der Stern auf einem Zifferblatt. „Nephroide“ ist die 3×-Kurve. „Fäden auf Holz“ nutzt 60 Nägel und Garn. „Kreide-Durchlauf“ lässt den Faktor auf einer grünen Tafel vorwärts laufen. Drücken Sie auf Abspielen, und der Faktor wandert. „Zurück“ und „Weiter“ springen jeweils eine ganze Reihe. Klicken Sie auf einen Punkt, und die Anzeige nennt Produkt und Rest. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor. Die Ulam-Spirale und Buffons Nadel sind zwei weitere Stücke Mathematik zum Zusehen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Multiplikationskreis?

Nummerierte Punkte auf einem Kreis und eine Zeichnung der Multiplikation mit einem Faktor. „Produkte“ verbindet jeden Punkt k mit (k × m) mod n. „Einmaleins“ verbindet die Vielfachen der Reihe nach: 0, m, 2m, 3m und so weiter.

Warum sieht mal 2 wie ein Herz aus?

Bei einigen hundert Punkten legen sich die geraden Linien der 2×-Produkte an eine Kardioide, eine Kurve mit einer Spitze. Mal 3 legt sich an eine Nephroide, die zwei Spitzen hat. Ein ganzzahliger Faktor m ergibt m − 1 Spitzen.

Warum ist die 4er-Reihe ein Stern?

Im Modus „Einmaleins“ auf 10 Punkten besucht das Addieren von 4 bei jedem Schritt 0, 4, 8, 2, 6 und wieder 0. Diese fünf Sehnen bilden ein Pentagramm. Die 2er-Reihe auf demselben Kreis ist das Fünfeck 0–2–4–6–8.

Was bedeutet mod n?

Der Rest nach Division durch n, die Anzahl der Punkte. Auf 10 Punkten ist 7 × 2 = 14 und 14 mod 10 gleich 4, also endet die Linie bei Punkt 4.

Wo werden Multiplikationskreise verwendet?

Im Waldorfunterricht und in anderem handlungsorientierten Unterricht zeichnet man das Einmaleins so, auf Papier, an der Tafel oder mit Faden auf einem Nagelbrett. Die Figur mit vielen Punkten ist ein Bild der modularen Multiplikation.