حول دوائر الضرب | جداول الضرب على دائرة

أعداد حول المحيط

ضع n نقطة على دائرة. النقطة 0 في الأعلى، والأعداد تسير باتجاه عقارب الساعة: 0، 1، 2، حتى n − 1. اختر مضاعِفًا m. في رسم حواصل الضرب يمتد خط مستقيم من كل نقطة k إلى النقطة (k × m) mod n. باقي القسمة على n هو النقطة التي ينتهي عندها الخط. على دائرة من 10، 7 × 2 = 14، وقسمة 14 على 10 تترك باقيًا 4، فيمتد الخط من 7 إلى 4. إضافة n إلى المضاعِف لا تغيّر أي خط. الضرب في 12 على 10 نقاط هو الرسم نفسه للضرب في 2، لأن 12 و2 يتركان الباقي نفسه.

جدول الضرب

يمشي رسم الفصل على المضاعفات بالترتيب بدل وصل كل حاصل ضرب. ابدأ من 0 وواصل إضافة m، ثم صِل تلك النقاط. على 10 نقاط يكون مسار الضرب في 2 هو 0–2–4–6–8–0، أي خماسي. ومسار الضرب في 4 هو 0–4–8–2–6–0، نجمة خماسية. ومسار الضرب في 3 يمر بكل نقطة. ومسار الضرب في 1 يدور حول المحيط مرة واحدة، ومسار الضرب في 0 يبقى عند 0. يرسم «كل الدورات» الحلقات التي لا تمر بالصفر. على 10 نقاط، لجدول 2 خماسي ثانٍ يمر بالأعداد الفردية. هذه هي الدائرة المستخدمة في دروس والدورف وغيرها من الحساب العملي، على الورق أو السبورة أو بخيوط الصوف.

المنحنى القلبي

احتفظ بقاعدة حواصل الضرب وأضف نقاطًا. عند بضع مئات، تتزاحم خطوط الضرب في 2 على منحنى قلبي، منحنى بنقطة رجوع واحدة، القلب في أعلى الدائرة. وتتزاحم خطوط الضرب في 3 على منحنى كلوي له نقطتا رجوع. المضاعِف الصحيح m يحتضن منحنى له m − 1 نقاط رجوع، ولخطوط الضرب في 5 أربع. كل خط مستقيم. المنحنى ليس إلا الحافة التي لا تعبرها الخطوط. حرّك المضاعِف فيتغير عدد نقاط الرجوع أمام عينيك. المضاعِف 1 لا يرسم شيئًا، لأن كل نقطة تقع على نفسها. والمضاعِف 0 يرسل كل خط إلى النقطة 0.

ورق وطباشير ومسامير

هذا هو الشكل الذي يرسمه الناس باليد. الورق قلم ملوّن على ورقة دافئة. والطباشير سبورة خضراء وخط مغبر. والخشب حلقة من المسامير يُشد بينها خيط صوف من مسمار إلى مسمار، لوح المسامير الدائري. عشر أو اثنتا عشرة نقطة لقراءة جدول، ويمكن أن تقع الأرقام خارج المحيط مباشرة. ومئة نقطة أو أكثر للمنحنى. تختفي المسامير حين توشك أن تتراكب، وتحمل الخطوط الصورة.

استكشفها في PictorX

افتح دوائر الضرب وستجد المنحنى القلبي مرسومًا بالفعل: 200 نقطة، الضرب في 2، على الورق. «جدول 2×» و«نجمة 4×» و«جدول 3×» هي رسوم العشر نقاط مع إظهار الأرقام. و«12 نقطة، ×5» هي النجمة على وجه ساعة. و«المنحنى الكلوي» هو منحنى الضرب في 3. و«خيط على خشب» يستخدم 60 مسمارًا وخيط صوف. و«مسح بالطباشير» يشغّل المضاعِف إلى الأمام على سبورة خضراء. اضغط تشغيل فيمشي المضاعِف. يقفز «السابق» و«التالي» جدولًا كاملًا في كل مرة. انقر على نقطة فتعرض القراءة حاصل الضرب والباقي. احفظ ملف PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX. حلزون أولام وإبرة بوفون قطعتان أخريان من الرياضيات يمكنك مشاهدتهما.

الأسئلة المتداولة

ما دائرة الضرب؟

نقاط مرقّمة حول دائرة، ورسم للضرب في مضاعِف واحد. تصل حواصل الضرب كل نقطة k بالنقطة (k × m) mod n، ويصل جدول الضرب المضاعفات بالترتيب: 0، m، 2m، 3m، وهكذا.

لماذا يبدو الضرب في 2 مثل قلب؟

مع بضع مئات من النقاط، تستند الخطوط المستقيمة لحواصل الضرب في 2 إلى منحنى قلبي، وهو منحنى بنقطة رجوع واحدة. ويستند الضرب في 3 إلى منحنى كلوي له نقطتا رجوع. والمضاعِف الصحيح m يعطي m − 1 نقاط رجوع.

لماذا جدول 4 نجمة؟

في وضع جدول الضرب على 10 نقاط، إضافة 4 في كل خطوة تمر بـ 0 و4 و8 و2 و6 ثم تعود إلى 0. هذه الأوتار الخمسة نجمة خماسية. وجدول 2 على الدائرة نفسها هو الخماسي 0–2–4–6–8.

ما معنى mod n؟

باقي القسمة على n، أي عدد النقاط. على 10 نقاط، 7 × 2 = 14 و14 mod 10 يساوي 4، فينتهي الخط عند النقطة 4.

أين تُستخدم دوائر الضرب؟

ترسم دروس والدورف وغيرها من الدروس العملية جداول الضرب بهذه الطريقة، على الورق أو السبورة أو بخيط على لوح مسامير. والشكل كثير النقاط صورة للضرب النمطي.