円周に並ぶ数
円周に n 個の点を置きます。点 0 は一番上にあり、数は時計回りに 0、1、2…と n − 1 まで続きます。倍率 m を選びます。積の図では、各点 k から点 (k × m) mod n へ直線を引きます。n で割った余りが、線の終わる点です。 10点の円では 7 × 2 = 14 で、14 を 10 で割った余りは 4 なので、線は 7 から 4 へ引かれます。倍率に n を足しても線は変わりません。10点での 12× は 2× と同じ図です。12 と 2 の余りが同じだからです。
かけ算表
授業での描き方は、すべての積を結ぶのではなく、倍数を順にたどります。0 から始めて m を足し続け、その点を結びます。 10点では 2× の道筋は 0–2–4–6–8–0 で五角形です。4× の道筋は 0–4–8–2–6–0 で五芒星です。3× の道筋はすべての点を通ります。1× の道筋は円周を一周し、0× の道筋は 0 にとどまります。「すべての巡回」は 0 を通らないループを描きます。10点では 2× の表に、奇数を通る2つ目の五角形があります。これはシュタイナー教育などの体験型の算数で、紙や黒板、毛糸を使って描かれる円です。
カージオイド
積の規則はそのままで、点を増やします。200 前後になると、2× の線は尖点が1つの曲線、円の上部のハートであるカージオイドに押し寄せます。3× の線は尖点が2つのネフロイドに押し寄せます。整数の倍率 m は尖点が m − 1 個の曲線に沿い、5× の線では4個です。 どの線もまっすぐです。曲線は線が越えない縁にすぎません。倍率を動かすと、尖点の数が目の前で変わります。1× は何も描きません。どの点も自分自身に落ちるからです。0× はすべての線を点 0 に送ります。
紙、チョーク、釘
これは人が手で描く図形です。「紙」は温かみのある紙に色鉛筆、「チョーク」は緑の黒板と粉っぽい線、「木目」は釘の輪に釘から釘へ毛糸を渡したもので、円形のジオボードです。 10点や12点は表を読むためのもので、数字は円周のすぐ外側に置けます。100点以上は曲線のためです。釘は重なり合うほどになると消え、線が絵を形づくります。
PictorX で試す
「かけ算の円」を開くと、カージオイドがすでに描かれています。200点、2倍、紙の上です。「2× の表」「4× の星」「3× の表」は数字を表示した10点の図です。「12 点、×5」は時計の文字盤の星です。「ネフロイド」は 3× の曲線です。「木と糸」は60本の釘と毛糸を使います。「チョークの変化」は緑の黒板の上で倍率を進めます。 再生を押すと倍率が進みます。「前へ」と「次へ」は表をまるごと1つずつ移動します。点をクリックすると、表示に積と余りが出ます。PNG を保存するか、キャンバスを PictorX エディターで開きましょう。ウラムの螺旋とビュフォンの針も、眺めて楽しめる数学です。
よくある質問
かけ算の円とは何ですか？
円周に番号を振った点と、1つの倍率によるかけ算の図です。「積」は各点 k を (k × m) mod n と結び、「かけ算表」は倍数を 0、m、2m、3m…と順に結びます。
なぜ 2 倍はハートのように見えるのですか？
点が数百あると、2× の積のまっすぐな線は、尖点が1つの曲線であるカージオイドに沿って並びます。3 倍では尖点が2つのネフロイドに沿います。整数の倍率 m では尖点は m − 1 個です。
なぜ 4× の表は星になるのですか？
10点の「かけ算表」モードでは、毎回 4 を足すと 0、4、8、2、6 を通って 0 に戻ります。この5本の弦が五芒星です。同じ円での 2× の表は五角形 0–2–4–6–8 です。
mod n とはどういう意味ですか？
点の数 n で割った余りです。10点では 7 × 2 = 14 で、14 mod 10 は 4 なので、線は点 4 で終わります。
かけ算の円はどこで使われていますか？
シュタイナー教育などの体験型の授業では、九九をこのように紙や黒板に描いたり、釘の板に糸を張ったりして表します。点の多い図形は剰余乗法の絵です。
関連ツール
かけ算の円
円の上の各数をその倍数と結びます。紙に、チョークで、または木の上に、かけ算表やカージオイド、糸かけの図形を描きましょう。
ウラムの螺旋
ブラウザでウラムの螺旋を描きます。素数に印を付け、各対角線の二次式を読み取り、オイラーの途切れない40個の素数の列を開けます。
ウラムの螺旋
スタニスワフ・ウラムが1963年に描いた螺旋が整数をどう正方格子に並べるのか、なぜ素数が二次式の対角線に集まるのか、そして螺旋を41から始めたときオイラーの40個の素数がどこに並ぶのかを解説します。
ビュフォンの針
ブラウザーで線の引かれた床に針を落とします。交差を数え、ビュフォンの1777年の実験が π を推定する様子を見てみましょう。
スピログラフ
ブラウザでハイポトロコイドとエピトロコイドを描画。R・r・ペンオフセットを調整し、アニメーションやランダム化、PNG保存。
試してみますか？
ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
かけ算の円を試す