Om gangecirkler | Tabeller på en cirkel

Tal rundt langs en kant

Sæt n punkter på en cirkel. Punkt 0 er øverst, og tallene går med uret: 0, 1, 2, op til n − 1. Vælg en faktor m. I produkttegningen går en ret linje fra hvert punkt k til punktet (k × m) mod n. Resten ved division med n er det punkt, hvor linjen ender. På en cirkel med 10 er 7 × 2 = 14, og 14 divideret med 10 giver rest 4, så linjen går fra 7 til 4. At lægge n til faktoren ændrer ingen linje. 12× på 10 punkter er samme tegning som 2×, fordi 12 og 2 giver samme rest.

Tabellen

Klasseværelsets tegning går multiplaene igennem i rækkefølge i stedet for at forbinde hvert produkt. Start ved 0, bliv ved med at lægge m til, og forbind de punkter. På 10 punkter er 2×-turen 0–2–4–6–8–0, en femkant. 4×-turen er 0–4–8–2–6–0, en femtakket stjerne. 3×-turen besøger hvert punkt. 1×-turen går én gang rundt langs kanten, og 0×-turen bliver ved 0. »Alle cyklusser« tegner de løkker, der ikke går gennem 0. På 10 punkter har 2-tabellen en anden femkant gennem de ulige tal. Det er cirklen fra Steiner-undervisning og anden praktisk regning, på papir, på tavlen eller med garn.

Cardioiden

Behold produktreglen, og tilføj punkter. Ved et par hundrede trænger 2×-linjerne sig op ad en cardioide, en kurve med én spids, hjertet øverst i cirklen. 3×-linjerne trænger sig op ad en nefroide, som har to spidser. En heltallig faktor m omslutter en kurve med m − 1 spidser. 5×-linjerne har fire. Hver linje er ret. Kurven er kun kanten, linjerne ikke krydser. Skub faktoren, og antallet af spidser ændres for øjnene af dig. Faktoren 1× tegner intet, fordi hvert punkt lander på sig selv. Faktoren 0× sender hver linje til punkt 0.

Papir, kridt og søm

Det er den figur, man tegner i hånden. Papir er en farveblyant på et varmt ark. Kridt er en grøn tavle og en støvet streg. Træ er en ring af søm med garn trukket fra søm til søm, det runde geobræt. Ti eller tolv punkter er til at aflæse en tabel, og tallene kan stå lige uden for kanten. Hundrede punkter eller flere er til kurven. Sømmene forsvinder, når de ville sidde oven på hinanden, og linjerne bærer billedet.

Udforsk det i PictorX

Åbn Gangecirkler, og cardioiden er allerede tegnet: 200 punkter, gange 2, på papir. »2-tabellen«, »4×-stjerne« og »3-tabellen« er tegningerne med ti punkter og tallene vist. »12 punkter, ×5« er stjernen på en urskive. »Nefroide« er 3×-kurven. »Snor på træ« bruger 60 søm og garn. »Kridtgennemløb« afspiller faktoren fremad på en grøn tavle. Tryk på afspil, og faktoren går. »Forrige« og »Næste« springer en hel tabel ad gangen. Klik på et punkt, og visningen giver produktet og resten. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Ulams spiral og Buffons nål er to andre stykker matematik, du kan se på.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en gangecirkel?

Nummererede punkter rundt om en cirkel og en tegning af multiplikation med én faktor. Produkter forbinder hvert punkt k med (k × m) mod n. Tabel forbinder multiplaene i rækkefølge: 0, m, 2m, 3m og så videre.

Hvorfor ligner gange 2 et hjerte?

Med et par hundrede punkter ligger de rette linjer fra 2×-produkterne op ad en cardioide, en kurve med én spids. Gange 3 ligger op ad en nefroide, som har to spidser. En heltallig faktor m giver m − 1 spidser.

Hvorfor er 4-tabellen en stjerne?

I tilstanden Tabel på 10 punkter besøger man ved at lægge 4 til i hvert trin 0, 4, 8, 2, 6 og tilbage til 0. De fem korder er et pentagram. 2-tabellen på samme cirkel er femkanten 0–2–4–6–8.

Hvad betyder mod n?

Resten ved division med n, antallet af punkter. På 10 punkter er 7 × 2 = 14, og 14 mod 10 er 4, så linjen ender i punkt 4.

Hvor bruges gangecirkler?

Steiner-undervisning og anden praktisk undervisning tegner tabellerne sådan, på papir, på tavlen eller med snor på et sømbræt. Figuren med mange punkter er et billede af modulær multiplikation.