Cercles de multiplication
Un cercle de multiplication place des nombres sur un pourtour et dessine le motif de la multiplication par un facteur. On réalise la même figure au crayon, à la craie ou avec du fil sur une planche à clous.
Des nombres autour d’un cercle
Placez n points sur un cercle. Le point 0 est en haut, et les nombres tournent dans le sens des aiguilles d’une montre : 0, 1, 2, jusqu’à n − 1. Choisissez un facteur m. Dans le dessin des produits, une ligne droite va de chaque point k au point (k × m) mod n. Le reste de la division par n est le point où la ligne s’arrête. Sur un cercle de 10, 7 × 2 = 14, et 14 divisé par 10 laisse un reste de 4, donc la ligne va de 7 à 4. Ajouter n au facteur ne change aucune ligne. 12× sur 10 points donne le même dessin que 2×, car 12 et 2 laissent le même reste.
La table de multiplication
Le dessin de la classe parcourt les multiples dans l’ordre au lieu de relier chaque produit. Partez de 0, ajoutez sans cesse m, puis reliez ces points. Sur 10 points, le parcours de 2× est 0–2–4–6–8–0, un pentagone. Celui de 4× est 0–4–8–2–6–0, une étoile à cinq branches. Celui de 3× passe par tous les points. Celui de 1× fait une fois le tour, et celui de 0× reste à 0. « Tous les cycles » trace les boucles qui ne passent pas par 0. Sur 10 points, la table de 2 a un second pentagone, qui passe par les nombres impairs. C’est le cercle utilisé dans les cours Steiner-Waldorf et d’autres approches manipulatoires du calcul, sur papier, au tableau ou avec de la laine.
La cardioïde
Gardez la règle des produits et ajoutez des points. À quelques centaines, les lignes 2× se pressent contre une cardioïde, une courbe à une pointe, le cœur en haut du cercle. Les lignes 3× se pressent contre une néphroïde, qui a deux pointes. Un facteur entier m épouse une courbe à m − 1 pointes. Les lignes 5× en ont quatre. Chaque ligne est droite. La courbe n’est que le bord que les lignes ne franchissent pas. Faites glisser le facteur et le nombre de pointes change sous vos yeux. Le facteur 1× ne trace rien, car chaque point retombe sur lui-même. Le facteur 0× envoie chaque ligne au point 0.
Papier, craie et clous
C’est la figure que l’on dessine à la main. Papier, c’est un crayon de couleur sur une feuille chaude. Craie, c’est un tableau vert et un trait poudreux. Bois, c’est un anneau de clous avec de la laine tendue de clou en clou, le géoplan circulaire. Dix ou douze points servent à lire une table, et les nombres peuvent se placer juste hors du pourtour. Cent points ou plus servent à la courbe. Les clous disparaissent dès qu’ils se chevaucheraient, et ce sont les lignes qui portent l’image.
Explorez-le dans PictorX
Ouvrez Cercles de multiplication et la cardioïde est déjà tracée : 200 points, fois 2, sur papier. « Table de 2 », « Étoile 4× » et « Table de 3 » sont les dessins à dix points, avec les nombres affichés. « 12 points, ×5 » est l’étoile sur un cadran d’horloge. « Néphroïde » est la courbe 3×. « Fil sur bois » utilise 60 clous et de la laine. « Balayage à la craie » fait avancer le facteur sur un tableau vert. Appuyez sur lecture et le facteur avance. « Précédent » et « Suivant » sautent d’une table entière à la fois. Cliquez sur un point et l’affichage donne le produit et le reste. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX. La spirale d’Ulam et l’aiguille de Buffon sont deux autres morceaux de mathématiques à regarder.
Questions fréquemment posées
Qu’est-ce qu’un cercle de multiplication ?
Des points numérotés autour d’un cercle, et un dessin de la multiplication par un facteur. Produits relie chaque point k à (k × m) mod n. Table de multiplication relie les multiples dans l’ordre : 0, m, 2m, 3m, etc.
Pourquoi la multiplication par 2 ressemble-t-elle à un cœur ?
Avec quelques centaines de points, les lignes droites des produits par 2 s’appuient sur une cardioïde, une courbe à une pointe. Par 3, elles s’appuient sur une néphroïde, qui a deux pointes. Un facteur entier m donne m − 1 pointes.
Pourquoi la table de 4 forme-t-elle une étoile ?
En mode Table de multiplication sur 10 points, ajouter 4 à chaque pas visite 0, 4, 8, 2, 6, puis revient à 0. Ces cinq cordes forment un pentagramme. La table de 2 sur le même cercle est le pentagone 0–2–4–6–8.
Que signifie mod n ?
Le reste de la division par n, le nombre de points. Sur 10 points, 7 × 2 = 14 et 14 mod 10 vaut 4, donc la ligne aboutit au point 4.
Où utilise-t-on les cercles de multiplication ?
Les cours Steiner-Waldorf et d’autres approches manipulatoires tracent ainsi les tables de multiplication, sur papier, au tableau ou avec du fil sur une planche à clous. La figure à nombreux points est une image de la multiplication modulaire.
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Reliez chaque nombre d’un cercle à son multiple. Dessinez une table de multiplication, une cardioïde ou une figure en fil sur papier, à la craie ou sur bois.
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